[段考] 108上第1次段考-台中-台中一中-高一(題目)

108上第1次段考-台中-台中一中-高一(題目)

範圍：108上龍騰單元1~單元5

　 　

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說明：	說明：請將答案畫記在答案卡上對應之處，若有畫記不清致讀卡無法辨識者，其責任自負。答案卡上應書寫處未完整書寫者，扣總分十分以為懲戒。本評量之得分，依標示所列，若總得分超過100分，以100分計算。本次測驗可使用科學型計算機應試，但不能使用手機、平板、行動載具等內附的計算機App。

一、單一選擇題(每題6分)

1. 一個質子的質量約為$1.673\times {{10}^{-27}}$公斤，一個中子的質量約為$1.675\times {{10}^{-27}}$公斤，一個電子的質量約為$9.109\times {{10}^{-31}}$公斤。大自然中的氫原子具有最簡單的原子結構：恰由一個質子與一個中子組合成原子核，而有一個電子在原子核外繞行，可參考右圖(一)。請利用上述條件計算氫原子核的質量約為其電子質量的多少倍？
   (1)  $1800$倍
   (2)  $2600$倍
   (3)  $3200$倍
   (4)  $3700$倍
   (5)  $4200$倍
   
   
   
   
   
2. 有一個手機程式，每次點擊螢幕上的數$n$後，螢幕上的數就會變成${{n}^{2}}$，例如，點擊螢幕上的數「$5$」後，在螢幕上出現「$25$」。若當一開始時螢幕上有一正數$m$，經連續點擊螢幕$3$次後，在螢幕上的數非常接近$1000$。試問，正數$m$最接近下列那一個選項？
   (1)  $2.1$
   (2)  $2.4$
   (3)  $2.7$
   (4)  $3$
   (5)  $3.2$
   
   
3. 對某數$N$取一次$log$後，其值為$x$，再對此數$x$取一次$log$後，其值為$108$，試問$N$是幾位數？
   (1)  $108$位
   (2)  $108+1$位
   (3)  ${{10}^{108}}$位
   (4)  ${{10}^{108}}+1$位
   (5)  ${{10}^{{{10}^{108}}}}$位
   
   
4. 如右圖(二)，古希臘認為最美的身材比例要滿足$\displaystyle{\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}}=\displaystyle{\frac{\overline{BC}}{\overline{CA}}}=\phi $($A$為頭頂，$B$為的肚臍，$C$為地面站立處)，這個比值$\phi $稱為黃金比例。小美的身高為$170$公分，她的肚臍到腳底的距離為$102$公分。為了達成黃金比例，請問小美要穿高多少公分的高跟鞋？
   (1)  $4$公分
   (2)  $5$公分
   (3)  $8$公分
   (4)  $11$公分
   (5)  $16$公分
   
   
   
   
   

二、多重選擇題(每題全對得8分，答錯一個選項得5分，答錯二個選項得2分，答錯三個選項以上不給分。)

5. 已知$a$為非負實數，$m$、$n$為正整數，則下列哪些選項是正確的？
   (1)  ${{(\ a\ +\ \pi \ )}^{0}}=1$
   (2)  ${{a}^{-n}}=\displaystyle{\frac{1}{{{a}^{n}}}}$
   (3)  ${{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$
   (4)  ${{({{a}^{m}}\text{)}}^{n}}={{a}^{m\times n}}={{({{a}^{n}})}^{m}}$
   (5)  ${{(\ a+\pi \ )}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{\pi }}}$
   
   
6. 設$a$為非零之有理數，$b$為無理數。請從下列敘述中，選出所有正確選項：
   (1)  ${{b}^{2}}$為有理數
   (2)  $\displaystyle{\frac{a}{b}}$為無理數
   (3)  $\displaystyle{\frac{2\ a+b}{3}}$為無理數
   (4)  $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}a\ +\ b}{\sqrt{2}+1}}$為無理數
   (5)  若$a+b\sqrt{2}=0$，則$a=b=0$
   
   
7. 考慮$a=\displaystyle{\frac{5}{13}}$、$b=\displaystyle{\frac{1}{7}}$，下列何者正確?
   (1)  $a=0.\overline{384614}$
   (2)  $b=0.\overline{142857}$
   (3)  $\displaystyle{\frac{a}{b}}$必為循環小數
   (4)  $a\times b$的循環節仍為$6$位
   (5)  $a+b$化為小數後，小數點後第$2019$位數字為$7$
   
   
8. 小串想利用尺規作圖，先隨意畫一段大於$0$的長度$\overline{AB}$，以其為直徑做一個半圓，然後在$\overline{AB}$上取一點$C$，再作$\overline{CD}\bot \overline{AB}$，交圓於$D$點的方式來得長度為$\sqrt{15}$的線段，如下圖(三)。試問：下列哪些選項是正確的？
   (1)  若取$\overline{AC}=3$、$\overline{AB}=8$，則$\overline{CD}$即為所求。
   (2)  若取$\overline{AC}=3$、$\overline{BC}=2$，則$\overline{AD}$即為所求。
   (3)  若取$\overline{AC}=1.3$，則無論操作上述的作圖方法幾次，也無法完成目標。
   (4)  無論使用選項(1)或選項(2)中所採取的方式，作圖後所得到的半徑長皆大於$\sqrt{15}$。
   (5)  長度為$\sqrt{\sqrt{15}+1}$的線段，可仿照上述方式多作幾次尺規作圖後得到。
   
   
   
   
   
9. 身高$170$公分、體重$100$公斤的小串，9月18日完書離開中一中時，因肚子餓所以走到大門前的全家便利超商買了一個打$7$折(註1)的食品「海陸雙手卷」，如圖(四)。吃完其中的一個手卷後，正在吃第二個手卷時被同學大柱看見，大柱說：「昨天家政課教到$BMI$值(註2)的計算方法與理想的$BMI$值範圍，你那時不是一直說為了健康要一起減重，現在都晚上十點多了，還在吃!別吃了，一起去跑步吧。」於是，小串把剩下的手卷一口塞進嘴裡吞下肚中，然後跟著大柱一起去跑步。請選出正確的相關敘述。
   
   
   
   註1：全家便利超商在計價時採無條件捨去法取到元。
   註2：$BMI=\displaystyle{\displaystyle{\frac{{{體重}_{公斤}}}{{{\left[ {{身高}_{公尺}} \right]}^{2}}}}}$，理想的$BMI$值介於$18.5~24$之間。
   (1)  由此食品的標示，可知當時全家便利超商冷藏櫃攝氏溫度的設定範圍，可以用區間$[16，20]$來表示。
   (2)  購買這個食品花了小串$27$元，而且為小串帶來$390$大卡的熱量。
   (3)  若將「理想的$BMI$值」以$I$表示，則$I$必滿足條件$\left| \ I-\displaystyle{\frac{24+18.5}{2}}\ \right|\le 24-18.5$。
   (4)  承(3)，若小串的$BMI$值記為$\alpha $，則$\left| \ \alpha -I\ \right|>10$
   (5)  已知兩個手卷的熱量比是$1$：$2$，如果小串把沒吃完的手卷收起來而非塞進嘴裡吞下肚，那麼他減少吸收的熱量(大卡)應該落在區間$[130，260]$內。
   
   

三、選填題(每題6分)

1. 已知${{4}^{a}}=5$，求${{8}^{a}}-{{2}^{a+2}}$的正確值到小數點後第一位為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 若不等式$\left| x+2 \right|+2\left| x-7 \right|\le 15$的解可用區間$[a,b]$來表示，則數對$[a,b]= \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 若$\sqrt{14-4\sqrt{10}}$的整數部分為$a$、小數部分為$b$，試求$\displaystyle{\frac{1}{a+b+5}}-\displaystyle{\frac{1}{b}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 令$x=\sqrt[3]{2}-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}$，求$4\ {{x}^{3}}+12\ x\ +\ 5$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 大柱的老家有一大片田地一直空著沒有使用，大柱的爸爸為讓老家附近有一個休閒的空間，於是規劃用總長$600$公尺的竹籬圍成一個矩形的休閒農場，其中三邊各有$10$公尺不圍竹籬，預計作為出入口使用，如右圖(五)，則此休閒農場的最大面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方公尺。
   
   
   
   
   
6. 我們將「${{2}^{n}}-1$」型式的質數稱為做梅森質數，科學家於$2017$年底，發現了當時的最大質數：「${{2}^{77232917}}-1$」，同時此數也是第$50$個梅森質數(由小而大排列)。日本出版社虹色社把這個第$50$個梅森質數印成一本書出版，書名為《2017年最大質數》。假設每頁可以印出$23715$個數字(紙張為A3、字型為8pt大小且行距為9pt)，試問該書將所有的數字都印出來，至少需要$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$頁。
   
   

四、加分題(6分)

7. 設$a$、$b$都是正整數，且$a＜b$。若方程式$\left| x-a \right|+2\left| x-b \right|=108-2x$恰有一解，求$b$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。