[段考] 108上第1次段考-台北-北一女中-高一(題目)

108上第1次段考-台北-北一女中-高一(題目)

範圍：108上自編講義

　 　

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一、單選題(每題5分，共10分)

1. 已知$a$是位於區間$(0$，$10)$內的整數，且$\displaystyle{\frac{290+a}{140}}$可以化為有限小數，則將$\displaystyle{\frac{290+a}{140}}$化為有限小數後的值為何？
   (1)  $2.08$
   (2)  $2.09$
   (3)  $2.1$
   (4)  $2.11$
   (5)  $2.12$
   
   
2. 計算$2.5\times{{10}^{-7}}-5\times{{10}^{-8}}$的值為多少?
   (1)  $-4.75\times{{10}^{-8}}$
   (2)  $2\times{{10}^{-7}}$
   (3)  $2\times{{10}^{-8}}$
   (4)  $2.5\times{{10}^{-7}}$
   (5)  $2.5\times{{10}^{-8}}$
   
   

二、多選題(每題10分，共20分)

1. 下列哪些選項中的數值存在？
   (1)  ${{(-5)}^{-5}}$
   (2)  ${{(-5)}^{ \frac{1}{5}}}$
   (3)  ${{(- \displaystyle{\frac{1}{5}})}^{5}}$
   (4)  ${{(- \displaystyle{\frac{1}{5}})}^{-5}}$
   (5)  ${{(- \displaystyle{\frac{1}{5}})}^{\frac{1}{5}}}$
   
   
2. 在數線上有三點$A(a)$、$B(b)$、$P(x)$，已知$ab$，且$2\left|x-a\right|=3\left|x-b\right|$，試問下列選項哪些正確？
   (1)  $P$在$\overline{AB}$上
   (2)  $\overline{PA}$：$\overline{PB}=3$：$2$
   (3)  $5\left|x-a\right|=3\left|x-b\right|$
   (4)  $x＞\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$
   (5)  $x＞\displaystyle{\frac{2a+3b}{4}}$
   
   

三、填充題(每題6分，共60分)

1. 計算並化簡$\displaystyle{\frac{{{\sqrt{3}}^{5}}\times{{4}^{\frac{3}{4}}}}{{{\sqrt{6}}^{3}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 已知$a＞0$，且${{a}^{-\frac{1}{2}}}-{{a}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{5}$，則$a-{{a}^{-1}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 在數線上，$C$、$D$兩點在$A$、$B$之間，已知$C$點坐標為$7$，$D$點坐標為$8$，且$\overline{AC}$：$\overline{BC}=1$：$2$，$\overline{AD}$：$\overline{BD}=3$：$2$，則$A$點坐標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 若絕對值不等式$\left| 2x-a\right| \le b$的解為$-7\le x \le 1$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知${{3}^{x}}=4$，${{3}^{y}}=8$，則${{2}^{\frac{y}{x}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 已知$\left|x-3\right|\le4$，則$\left|x+2\right|+\left|x-1\right|$的最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$，最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 已知$n$為自然數，且$\sqrt{n+2+\displaystyle{\frac{1}{n}}}-\sqrt{n-2+\displaystyle{\frac{1}{n}}}＜\displaystyle{\frac{1}{9}}$，則$n$的最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
8. 
   (1)  $\sqrt{10+3\sqrt{11}}$的整數部分為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  計算$\sqrt{10+3\sqrt{11}}+\sqrt{10-3\sqrt{11}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 溶液的酸鹼程度常以$pH$值來衡量。當溶液中的氫離子濃度$10^{-x}{莫耳}/{升}$時，$pH$值就定為$x$。若有$50$升$pH$值為$5$的甲溶液，則需與$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$升$pH$值為$3$的乙溶液一起混合，混合後的溶液$pH$值才會是$4$。
   
   
10. 已知一個人的體重與該星球的重力成反比，且地球的重力$9.8{}^{m}/{}_{se{{c}^{2}}}$。天文館有一個體重器，只要站在體重器上，就可以顯示出在地球和在木星上的體重數值，若此體重器上所顯示出來的數值，其在木星上的體重為地球上體重的$x$倍，且正負誤差不超過在地球上體重的$k$倍。若$x$滿足$\left|x-2.53\right|\le k$，試問：
    (1)  木星上的重力約為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$${m}/{{sec}^{2}}$(取三位有效數字)
    (2)  今有一對姊弟和父母去量體重，呈現出的體重數值如下表。
    

    	弟	姊	母	父
    地球上的體重(公斤)	$20$	$40$	$50$	$80$
    木星上的體重	$50$	$102$	$127$	$202$

    依照姊弟父母量測的體重數值判斷，$k$的值至少為下列哪一個選項？$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    (A)  $0.0003$
    (B)  $0.003$
    (C)  $0.03$
    (D)  $0.3$
    (E)  $3$
    
    

四、計算題(第1題3分，第2題7分，共10分)

1. 已知$\sqrt{2}$為無理數，試證明$\sqrt{2+\sqrt{2}}$為無理數
   
   
2. 有一園藝設計師欲種植一片面積為$6000$平方公尺的矩形綠地，並且鋪設一條步道環繞矩形綠地的外圍，此橫向步道的寬為$3$公尺，縱向步道的寬為$5$公尺，如圖所示。試問：
   (1)  當矩形綠地長和寬各為多少公尺，此步道面積會最小？
   (2)  步道面積最小為多少平方公尺？