[段考] 108上第1次段考-台北-北一女中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-北一女中-高一(詳解)

範圍：108上自編講義

　 　

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一、單選題(每題5分，共10分)

1. $140={{2}^{2}}\times 5\times 7$$\Rightarrow $$290+a$為$7$的倍數$\Rightarrow $$a=4$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{290+a}{14}}=\displaystyle{\frac{294}{14}}=2.1$，故選(3)
   
   
2. $2.5\times {{10}^{-7}}-5\times {{10}^{-8}}=2.5\times {{10}^{-7}}-0.5\times {{10}^{-7}}=2\times {{10}^{-7}}$，故選(2)
   
   

二、多選題(每題10分，共20分)

1. 底數為負時，指數不能為分數，故選(1)(3)(4)
   
   
2. 有兩種情況
   
   
   
   
   
   
   如圖，選(2)(4)
   
   

三、填充題(每題6分，共60分)

1. 原式$=\displaystyle{\frac{{{({{3}^{\frac{1}{3}}})}^{5}}\times {{({{2}^{2}})}^{\frac{3}{4}}}}{{{({{6}^{\frac{1}{2}}})}^{3}}}}=\displaystyle{\frac{{{3}^{\frac{5}{2}}}\times {{2}^{\frac{3}{2}}}}{{{3}^{\frac{3}{2}}}}\times {{2}^{\frac{3}{2}}}}={{3}^{1}}=3$
   
   
2. ${{({{a}^{-\frac{1}{2}}}-{{a}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}+4={{({{a}^{-\frac{1}{2}}}+{{a}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$$\Rightarrow $${{a}^{-\frac{1}{2}}}+{{a}^{\frac{1}{2}}}=3$$\Rightarrow $$a-{{a}^{-1}}=-({{a}^{-\frac{1}{2}}}-{{a}^{\frac{1}{2}}})({{a}^{-\frac{1}{2}}}+{{a}^{\frac{1}{2}}})=-3\sqrt{5}$
   
   
3. 如圖，令$\overline{AC}=\ell $$\Rightarrow $$A(7-\ell )$、$B(7+2\ell )$$\Rightarrow $$\ell +1$：$2\ell -1=3$：$2$$\Rightarrow $$\ell =\displaystyle{\frac{5}{4}}$$\Rightarrow $$A(\displaystyle{\frac{23}{4}})$
   
   
   
   
4. $-7\le x\le 1$$\Rightarrow $$\left| x-(-3) \right|\le 4$$\Rightarrow $$\left| 2x+6 \right|\le 8$$\Rightarrow $$a=-6$、$b=8$
   
   
5. $3={{4}^{\frac{1}{x}}}={{2}^{\frac{2}{x}}}$、${{3}^{y}}={{2}^{3}}$知${{3}^{y}}={{({{2}^{\frac{2}{x}}})}^{y}}={{2}^{\frac{2y}{x}}}={{2}^{3}}$$\Rightarrow $${{2}^{\frac{y}{x}}}=2\sqrt{2}$
   
   
6. $-1\le x\le 7$$\Rightarrow $最小值為$3$、最大值為$9+6=15$
   
   
7. $\sqrt{{{(\sqrt{n}+\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}})}^{2}}}-\sqrt{{{(\sqrt{n}-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}})}^{2}}}<\displaystyle{\frac{1}{9}}$$\Rightarrow $$\left| \sqrt{n}+\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right|-\left| \sqrt{n}-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right|<\displaystyle{\frac{1}{9}}$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{n}}}<9$$\Rightarrow $$n>{{18}^{2}}$，$n$最小值為$325$
   
   
8. (1)  $\sqrt{10+3\sqrt{11}}=\sqrt{10+\sqrt{99}}=\sqrt{10+9.\cdots }=4.\cdots $
   (2)  $\sqrt{10+3\sqrt{11}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\sqrt{40+2\sqrt{396}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}(\sqrt{22}+\sqrt{18})$，$\sqrt{10-3\sqrt{11}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\sqrt{40-2\sqrt{396}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}(\sqrt{22}-\sqrt{18})$，故$\sqrt{10+3\sqrt{11}}+\sqrt{10-3\sqrt{11}}=\sqrt{22}$
   
   
9. 令所求為$x$(公升)，則$\displaystyle{\frac{{{10}^{-5}}\times 50+x\times {{10}^{-3}}}{x+50}}={{10}^{-4}}$，解得$x=5$
   
   
10. (1)  假設一質量為$m$的物體，木星重力為$G$，「木星重量數值」與「體重計所顯示木星重量數值」的正負誤差為$9.8km$，其中木星重量數值即為$Gm$，故得
    $\left| 「體重計所顯示木星重量數值」-Gm \right|$，即$\left| 9.8xm-Gm \right|\le 9.8km$，得$\left| x-\displaystyle{\frac{G}{9.8}} \right| \le 9.8$，故木星重力$G$為$2.53\times 9.8=24.794\approx 24.8$
    (2)  「弟」誤差為$\left| 2.53-\displaystyle{\frac{50}{20}} \right|=0.03$；「姊」誤差為$\left| 2.53-\displaystyle{\frac{102}{40}} \right|=0.02$；「母」誤差為$\left| 2.53-\displaystyle{\frac{127}{50}} \right|=0.01$；「父」誤差為$\left| 2.53-\displaystyle{\frac{202}{80}} \right|=0.005$，取最大為$0.03$，選(C)
    
    

四、計算題(第1題3分，第2題7分，共10分)

1. 若$\sqrt{2+\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}$$\Rightarrow $$2+\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$$\Rightarrow $$\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$，與假設矛盾，故$\sqrt{2+\sqrt{2}}\notin \mathbb{Q}$
   
   
2. 令長為$x$、寬為$y$，則$xy=6000$$\Rightarrow $走道面積為$(x+6)(y+10)-xy=10x+6y+60$
   由算幾不等式得$10x+6y+60\ge 2\sqrt{60xy}+60=1260$，故面積最小為$1260$平方公尺，此時$10x=6y$且$xy=6000$$\Rightarrow $$x=60$、$y=100$