[段考] 108上第1次段考-台北-麗山高中-高一(題目)

108上第1次段考-台北-麗山高中-高一(題目)

範圍：翰林 第一冊1-1~2-2

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一、單選題(每題5分，共10分)

1. 已知$a=1+{{3}^{k}}$，$b=1-{{3}^{-k}}$，其中$k$為實數，則下列何者等於$b$?
   (1)  $\displaystyle{\frac{a}{a-1}}$
   (2)  $\displaystyle{\frac{a}{a+1}}$
   (3)  $\displaystyle{\frac{a}{1-a}}$
   (4)  $\displaystyle{\frac{a-1}{a}}$
   (5)  $\displaystyle{\frac{a-2}{a-1}}$
   
   
2. 請選出不正確的選項：
   (1)  $0.3\overline{43}$不是有理數
   (2)  $0.\overline{34}>\displaystyle{\frac{1}{3}}$
   (3)  $0.\overline{34}>0.343$
   (4)  $0.\overline{34}<0.35$
   (5)  $0.\overline{34}=0.3\overline{43}$
   
   

二、填充題I(每題5分，共40分)

1. 已知$a=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$，則${{a}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{a}^{2}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 若${{9}^{x}}={{25}^{y}}={{15}^{xy}}$，則$x+y=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 已知$k=log3$，則${{1000}^{k}}+{{100}^{-k}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 一農夫想用$33$公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬$3$公尺的出入口，如下圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為多少平方公尺?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
   
5. 設$a$，$b$，$x$為實數，若$\left| ax+1 \right|\le b$之解為$-2\le x\le 5$，求數對$(a$，$b)=$?
   
   
6. 天文學中，$m$等星之光量以${{L}_{m}}$表示，$n$等星之光量以${{L}_{n}}$表示，已知$n-m=\displaystyle{\frac{5}{2}}log\displaystyle{\frac{{{l}_{m}}}{{{L}_{n}}}}$，則$(-1)$等星之光量為$4$等星之光量的多少倍?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 設$a={{(\sqrt{5})}^{5\sqrt{5}}}$，則$\sqrt[5]{a}$的整數部分為多少?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 滿足${{n}^{300}}<{{7}^{800}}$之最大正整數$n$為何?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   

三、填充題II(每題6分，共30分)

9. 若${{x}^{2}}-2\sqrt{7}x+2=0$，則${{x}^{4}}-24{{x}^{2}}+7=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 已知實數$a$、$b$滿足$\sqrt{{{a}^{2}}-2a+1}+\sqrt{49-14a+{{a}^{2}}}=12-\left| b-2 \right|-\left| b+4 \right|$，則${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$之最大值為何?
    
    
11. 設$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{14-6\sqrt{5}}}}=a+b$，其中$a$為整數，且$0\le b<1$，求$\displaystyle{\frac{1}{a+b}}+\displaystyle{\frac{1}{b}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 滿足$3\left| \left| x \right|-5 \right|\le 13$的整數解有多少個?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
13. 已知$log(\sqrt{k}+1)+log(\sqrt{k}-1)=3$，則$k=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

四、題組題(每題均需寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。每一子題配分標於題末，共20分)

1. 設$a$、$b$為正實數，試求：
   (1)  $(a+\displaystyle{\frac{1}{b}})(2b+\displaystyle{\frac{1}{2a}})$的最小值? ($5$分)
   (2)  發生最小值時，$ab=$?($3$分)
   
   
2. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特$(W/{{m}^{2}})$來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為${{I}_{0}}={{10}^{-12}}(W/{{m}^{2}})$：當測得的聲音強度為$I(W/{{m}^{2}})$時，所產生的噪音分貝數$d$為$d(I)=10\cdot log\displaystyle{\frac{I}{{{I}_{0}}}}$。
   (1)  一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為${{10}^{-12}}(W/{{m}^{2}})$，求其產生的噪音分貝數。($2$分)
   (2)  汽車製造廠測試發現，某新車以每小時$90$公里速度行駛時，測得的聲音強度為${{10}^{-3}}(W/{{m}^{2}})$，試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝?($4$分)
   (3)  棒球比賽中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為$70$分貝，則千支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大約為多少分貝?($6$分)