[段考] 108下第1次段考-台中-忠明高中-高一(題目)

108下第1次段考-台中-忠明高中-高一(題目)

範圍：翰林 第二冊1-1~1-3

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(總分為103分；得分超過100分以100分計)
一、多選題(每題8分，共40分，錯一選項扣2分，直到該題0分為止)

1. 如圖，在$\vartriangle ABC$中，$\angle BAC={{90}^{\circ }}$，若$\overline{AD}\bot \overline{BC}$於$D$，則下列何者的值與$\displaystyle{\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}}$相等？
   
   (1)  $\sin \angle CAD$
   (2)  $\cos C$
   (3)  $\cos \angle CAD$
   (4)  $\sin B$
   (5)  $\cos \angle BAD$
   
   
2. 下列何者的值與$\sin {{69}^{\circ }}$相同？
   (1)  $\sin \left( -{{69}^{\circ }} \right)$
   (2)  $\sin {{111}^{\circ }}$
   (3)  $\sin {{249}^{\circ }}$
   (4)  $\sin {{339}^{\circ }}$
   (5)  $\sin {{789}^{\circ }}$
   
   
3. 若$\theta $為廣義角，下列敘述何者正確？
   (1)  ${{90}^{\circ }}$為$-{{90}^{\circ }}$的同界角
   (2)  $-{{20}^{\circ }}$為$-{{740}^{\circ }}$的同界角
   (3)  若$\theta $為第四象限角，則$\displaystyle{\frac{\theta }{2}}$為第二象限角
   (4)  若$\sin \theta >0$且$\tan \theta <0$，則$\theta $為第二象限角
   (5)  若$\tan \theta <0$，則$\cos \theta <0$
   
   
4. 設$a,b,c$分別表$\vartriangle ABC$中三內角$\angle A,\angle B,\angle C$的對邊長，請選出正確的選項。
   (1)  在$\vartriangle ABC$中，若$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$，則$a:b:c=2:3:4$
   (2)  若${{a}^{2}}<{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$，則$\vartriangle ABC$為銳角三角形
   (3)  若$\sin 2A=\sin 2B$，則$\vartriangle ABC$為等腰三角形
   (4)  若$\angle A={{30}^{\circ }}$，$\overline{AB}=\sqrt{2}$，$\overline{BC}=1$，則$\angle C={{45}^{\circ }}$
   (5)  若$\angle A={{30}^{\circ }}$，$\overline{AB}=\sqrt{2}$，$\overline{BC}=2$，則$\vartriangle ABC$為鈍角三角形
   
   
5. 如圖，$\vartriangle ABC$中，$\overline{AB}=5$、$\overline{BC}=7$、$\overline{CA}=6$，若四邊形$ABDE$、$ACFG$皆為正方形，則下列哪些選項是正確的？
   
   (1)  $\cos \angle BAC=\displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (2)  $\overline{EG}=\sqrt{73}$
   (3)  $\overline{BG}=\overline{EC}$
   (4)  $\vartriangle AEG$面積$=$$\vartriangle ABC$面積
   (5)  $\sin \angle BAG=-\cos \angle BAC$
   
   

二、填充題(每格5分，共55分)

1. 求${{\sin }^{2}}{{60}^{\circ }}+{{\tan }^{2}}{{30}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{30}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{60}^{\circ }}+\tan {{60}^{\circ }}\cos {{30}^{\circ }}=$？
   
   
2. 設$\theta $為銳角，試化簡$\displaystyle{\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }}-\displaystyle{\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }}=$？
   
   
3. 如圖，2009年世界數學大會的會標，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形所排成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為$\theta $，大正方形的面積為1，小正方形的面積為$\displaystyle{\frac{1}{16}}$，則${{\cos }^{3}}\theta -{{\sin }^{3}}\theta =$？
   
   
   
4. 若$\sin \theta ={{\cos }^{2}}\theta $，則$\displaystyle{\frac{1}{1-\sin \theta }}+\displaystyle{\frac{1}{1+\sin \theta }}=$？
   
   
5. 設$\tan \theta =\displaystyle{\frac{8}{15}}$且${{180}^{\circ }}<\theta <{{360}^{\circ }}$，則$\displaystyle{\frac{4\sin \left( {{270}^{\circ }}-\theta \right)}{3\cos \left( {{90}^{\circ }}+\theta \right)}}=$？
   
   
6. 求${{\sin }^{2}}{{1}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{2}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{3}^{\circ }}+\cdots +{{\sin }^{2}}{{179}^{\circ }}=$？
   
   
7. 已知直線${{L}_{1}}:y=x-1$、${{L}_{2}}:y=3x+2$，求${{L}_{1}}$與${{L}_{2}}$的銳夾角？(四捨五入取到小數點後第一位)
   
   
8. 如圖，$\vartriangle ABC$中，$D$為$\overline{BC}$上一點，若$\overline{AB}=7$、$\overline{BD}=4$、$\overline{AD}=5$、$\overline{CD}=6$，則$\overline{AC}=$？
   
   
   
9. 如圖，$ABCD$為圓內接四邊形，若$\angle DBC={{30}^{\circ }}$、$\angle ABD={{45}^{\circ }}$且$\overline{AD}=6$，求$\overline{CD}=$？
   
   
   
10. 忠明高中辦理國際教育行程參訪東京，同學想測量著名地標東京鐵塔的高度，於是在鐵塔的正東方一點$A$測得塔頂仰角${{60}^{\circ }}$，在鐵塔的正南方一點$B$測得塔頂仰角${{30}^{\circ }}$。同時知道$A$點與$B$點直線距離600公尺，求以此方法測得的東京鐵塔高度為何？
    
    
11. 雷達顯示小島位於極坐標$A\left[ 4,{{23}^{\circ }} \right]$處，海面上有艘船位於$B\left[ 5,{{83}^{\circ }} \right]$，求$\overline{AB}=$？
    
    

三、計算題(8分)

1. 大雄、胖虎和小夫到一圓形游泳池游泳，三人想要估算泳池的半徑大小，聰明的哆拉A夢請他們三人分別站在泳池邊緣任意三點，已知道三人距離分別為20公尺、25公尺、30公尺，聰明的同學可以幫忙計算求出泳池半徑嗎？