[段考] 108下第1次段考-花蓮-花蓮高中-高一(題目)

108下第1次段考-花蓮-花蓮高中-高一(題目)

範圍：第二冊 泰宇1-1~1-3

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一、單選題(每題5分，占40分)

1. 在極坐標平面上，若$A[2$，$30{}^\circ ]$、$B[4$，$120{}^\circ ]$、$C[2$，$180{}^\circ ]$，則$\vartriangle ABC$的面積最接近下列何者？
   (A)  $6$
   (B)  ${6.5}$
   (C)  $7$
   (D)  ${7.5}$
   (E)  $8$
   
   
2. 如右圖，${A}$在單位圓上，${B}$在$\theta$終邊上，$\overline{AB}$垂直${x}$軸，則下列何者可以表示線段$\overline{OB}$?
   
   
   
   (A)  $-sin\ \theta$
   (B)  $-cos\ \theta$
   (C)  $tan\ \theta$
   (D)  $-\displaystyle{\frac{1}{sin\ \theta }}$
   (E)  $-\displaystyle{\frac{1}{cos\ \theta }}$
   
   
3. 試問下列何者正確？
   (A)  $cos\ 30{}^\circ =\displaystyle{\frac{1}{2}}$
   (B)  $cos\ 45{}^\circ =1$
   (C)  $sin\ 30{}^\circ =\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
   (D)  $tan\ 53{}^\circ =\displaystyle{\frac{4}{3}}$
   (E)  $tan\ 60{}^\circ =\sqrt{3}$
   
   
4. 點${P}$的直角坐標表示法為$(2$，$-2\sqrt{3})$，則其極坐標表示法為何？
   (A)  $[2$，$30{}^\circ ]$
   (B)  $[2$，$-30{}^\circ ]$
   (C)  $[2$，$-60{}^\circ ]$
   (D)  $[4$，$-30{}^\circ ]$
   (E)  $[4$，$-60{}^\circ ]$
   
   
5. 如附圖，$\vartriangle ABC$中，$\overline{AD}\bot \overline{BC}$，已知$\overline{AB}=15$，$sin\ B=\displaystyle{\frac{3}{5}}$，$tan\ C=3$，求$\overline{BC}$之值?
   
   
   
   (A)  $12$
   (B)  $14$
   (C)  $15$
   (D)  $16$
   (E)  $18$
   
   
6. 某人在${A}$處見建築物${C}$在其北$60{}^\circ$東；另一建築物${D}$在其北$15{}^\circ$東，此人向北前進
   ${2}$公里至${B}$處，見${C}$在其東邊；${D}$在其東$60{}^\circ$南，則$\overline{AD}=$
   (A)  $1$
   (B)  $\sqrt{2}$
   (C)  $2$
   (D)  $2\sqrt{2}$
   (E)  $4$
   公里。
   
   
7. 某君在一廣場上從某一點出發，先往東北方前進${50}$公尺後轉往正西方向行進，
   一段時間後測得原出發點在他的南偏東$60{}^\circ$方向；則此時他距原出發點大約
   (A)  $35$公尺
   (B)  $43$公尺
   (C)  $50$公尺
   (D)  $71$公尺
   (E)  $87$公尺
   ($\sqrt{2}\approx 1.414$)
   
   
8. 在$\vartriangle ABC$中，$sin\ A$：$sin\ B$：$sin\ C=5$：$4$：$3$，則$cos\ A+cos\ B+cos\ C=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (A)  $\displaystyle{\frac{12}{5}}$
   (B)  $\displaystyle{\frac{7}{5}}$
   (C)  $\displaystyle{\frac{5}{7}}$
   (D)  $\displaystyle{\frac{5}{12}}$
   (E)  $\displaystyle{\frac{7}{12}}$
   
   

二、多選題(每題5分，占30分)
說明：所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；所有選項均未作答或答錯多於2個選項者，該題以零分計算。

1. 等腰$\vartriangle ABC$，其中$\overline{AB}=\overline{AC}=5$，若已知底角為$14{}^\circ$，則高$\overline{AH}$為多少？
   
   
   
   (A)  $5cos\ 14{}^\circ$
   (B)  $5sin\ 14{}^\circ$
   (C)  $5tan\ 14{}^\circ$
   (D)  $5cos\ 76{}^\circ$
   (E)  $5cos\ 76{}^\circ$
   
   
2. 設有向角$\theta$的始邊為$x$軸正向，且$tan\theta =\sqrt{2}$，若終邊上有兩點$P(a$，$-5\sqrt{2})$、$Q$，且$\overline{OQ}=3$，則下列哪些選項是正確的？
   (A)  $sin\ \theta =-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{3}}$
   (B)  $cos\ \theta =-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{3}}$
   (C)  $\overline{OP}=5\sqrt{3}$
   (D)  $a=-10$
   (E)  $Q$點的$y$坐標為$-6$
   
   
3. 設圓內接四邊形$ABCD$中，$\overline{AB}=5$，$\overline{CD}=2$，$\overline{BC}=3$，$\overline{AD}=3$，則下列哪些選項是正確的？
   (A)  $\angle B=30{}^\circ$
   (B)  $cos\ A=\displaystyle{\frac{1}{2}}$
   (C)  $\overline{BD}=\sqrt{19}$
   (D)  四邊形$ABCD$的面積為$\displaystyle{\frac{21}{4}}$
   (E)  此圓面積為$\displaystyle{\frac{19\pi }{3}}$
   
   
4. 如右圖為半徑$1$的半圓，$A$為圓心，$\overline{AT}$交半圓於$B$，$\angle ACB=\angle ADT=90{}^\circ$，$\angle BAC=\theta$。試問下列哪些選項正確?
   
   
   
   (A)  $\overline{CD}=1-sin\ \theta$
   (B)  $\overline{BC}=sin\ \theta$
   (C)  $\overline{TD}=tan\ \theta$
   (D)  $\overline{AT}=cos\ \theta$
   
   
5. 下列哪些選項中的三角比為負數？
   (A)  $tan\ 237{}^\circ$
   (B)  $sin\ 275{}^\circ$
   (C)  $cos\ 180{}^\circ$
   (D)  $cos\ (-90{}^\circ )$
   (E)  $sin\ (-240{}^\circ )$
   
   
6. 如圖所示，$\vartriangle ABC$中，$\overline{AD}$為$\angle A$的平分線，且$\overline{BD}=3$，$\overline{CD}=2$，其中$\overline{AC}=\overline{AD}$，若$\vartriangle ABC$、$\vartriangle ABD$、$\vartriangle ACD$的外接圓半徑依序為${{R}_{1}}$、${{R}_{2}}$與${{R}_{3}}$，則下列敘述中的那些選項是正確的?
   
   
   
   (A)  ${{R}_{1}}>{{R}_{2}}>{{R}_{3}}$
   (B)  ${{R}_{1}}={{R}_{2}}$
   (C)  ${{R}_{2}}>{{R}_{3}}$
   (D)  ${{R}_{1}}={{R}_{2}}+{{R}_{3}}$
   (E)  $2{{R}_{1}}=3{{R}_{3}}$
   
   

三、填充題(每題5分，占40分)

1. $si{{n}^{2}}10{}^\circ +si{{n}^{2}}80{}^\circ =$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. $\vartriangle ABC$三邊長為$\overline{AB}=8$、$\overline{BC}=6$、$\overline{AC}=4$，延長$\overleftrightarrow{BC}$至$D$，如圖，使得$\overline{CD}=3$，則$\overline{AD}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
   
   
   
3. 已知$0{}^\circ \le \theta <360{}^\circ$且$sin\ \theta =\displaystyle{\frac{2}{3}}$，求$cos\ \theta =$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. $cos\ 120{}^\circ =$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 如圖，圓${{O}_{1}}$與${{O}_{2}}$相交於$A$、$B$兩點，$C$為圓${{O}_{1}}$上一點，$D$為圓${{O}_{2}}$上一點，若$\angle ACB=45{}^\circ$、$\angle ADB=30{}^\circ$，圓${{O}_{1}}$的半徑為$3$，則圓${{O}_{2}}$的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方單位。
   
   
   
   
   
6. $\vartriangle ABC$中，已知$\angle A=150{}^\circ$，$\overline{AC}=\sqrt{3}$，$\overline{AB}=4$，則$\vartriangle ABC$的外接圓半徑為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 在$\vartriangle ABC$中，$\overline{AB}=2$，$\overline{AC}=6$且$\angle A=120{}^\circ$，若$D$在$\overline{BC}$上，且滿足$3\overline{BD}=\overline{CD}$，則$\vartriangle ACD$的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方單位。
   
   
8. 如圖，在$\vartriangle ABC$中，已知$\overline{AB}=2$、$\overline{AC}=4$、$\overline{BC}=3$，且四邊形$ACDE$為正方形，則$\vartriangle ABE$的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方單位。