[段考] 108上第2次段考-高雄-高雄中學-高一(題目)

108上第2次段考-高雄-高雄中學-高一(題目)

範圍：

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一、多重選擇題

1. 設$\forall n\in \mathbb{N}$，$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $，$\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle \in \mathbb{R}$，$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $是等差數列，$\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle $是等比數列，則下列敘述何者正確？
   (1)  若${{a}_{1}}>{{a}_{2}}$，則${{a}_{4}}>{{a}_{5}}$
   (2)  若${{b}_{1}}>{{b}_{2}}$，則${{b}_{4}}>{{b}_{5}}$
   (3)  若${{a}_{3}}<0$且${{a}_{7}}<0$
   (4)  若${{b}_{1}}{{b}_{2}}{{b}_{3}}>0$，則${{b}_{2019}}>0$
   (5)  若${{b}_{3}}={{b}_{2}}$，則$\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle $亦是等差數列
   
   
2. 設$g(x)$為一次多項式，小智利用綜合除法解得多項式$f(x)$除以$g(x)$的商為${{x}^{2}}-3x+1$，計算過程如下，因有一部分遭汙漬沾染，請就可辨識部份，推論下列敘述何者正確?
   (1)  $g(x)=x-2$
   (2)  $f(x)$除以$2g(x)$的餘式為$6$
   (3)  $f(x)$除以${{x}^{2}}-3x+1$的商為$x-2$
   (4)  $xf(x)$除以$g(x)$的餘式為$6$
   (5)  ${{(f(x))}^{2}}$除以$x-2$的餘式為$9$
   
   
   
3. 設$f(x)$是整係數多項式，$a$，$b\in \mathbb{R}$，若多項式$a{{x}^{4}}+(b+2){{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+5$可被$f(x)$整除，而多項式$a{{x}^{4}}+(b-1){{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+8x-1$除以$f(x)$餘$x-2$，則$f(x)$可能為下列何者?
   (1)  $x+1$
   (2)  ${{x}^{2}}-x-2$
   (3)  $3{{x}^{2}}-x-2$
   (4)  $3{{x}^{2}}-8x+4$
   (5)  $3{{x}^{2}}-4x-4$
   
   
4. 設$f(x)=-{{x}^{4}}+7{{x}^{3}}-17{{x}^{2}}+22x-5$，則下列敘述何者正確?
   (1)  $f(x)=-{{(x-1)}^{4}}-3{{(x-1)}^{3}}-2{{(x-1)}^{2}}+5(x-1)+6$
   (2)  $f(x)$除以${{(x-2)}^{2}}$的餘式為$5x+1$
   (3)  $f(1.01)$取至小數點後第$2$位之近似值為$6.05$
   (4)  $-{{(x+1)}^{4}}+7{{(x+1)}^{3}}-17{{(x+1)}^{2}}+22(x+1)-5=-{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x+6$
   (5)  $f(\sqrt{2}+1)=11\sqrt{2}-2$
   
   
5. 設$\vartriangle ABC$，$\angle A=76{}^\circ $，$\vartriangle ABC$之內切圓依序切三邊$\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$於${{A}_{1}}$、${{B}_{1}}$、${{C}_{1}}$，其中$\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}={{\theta }_{1}}{}^\circ $，而$\vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$之內切圓依序切三邊$\overline{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$、$\overline{{{C}_{1}}{{A}_{1}}}$、$\overline{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}$於${{A}_{2}}$、${{B}_{2}}$、${{C}_{2}}$，其中$\angle {{C}_{2}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}={{\theta }_{2}}{}^\circ $，設依此規則連續下去，可得一數列$\left\langle {{\theta }_{n}} \right\rangle $，則下列敘述何者正確?
   (1)  ${{\theta }_{1}}=52$
   (2)  若$n$為偶數，則${{\theta }_{n}}>60$
   (3)  對於任意$n\in \mathbb{N}$，${{\theta }_{n}}>{{\theta }_{n+2}}$
   (4)  $\left\langle {{\theta }_{n}}-60 \right\rangle $是等比數列
   (5)  當自然數$n\ge 13$時，$\left| {{\theta }_{n}}-60 \right|<0.001$
   
   
   
   

二、填充題(所有答案均需化至最簡，否則不予計分)

1. 多拉A夢寫下一個四位正整數讓大雄猜，題示是千、百、十位恰為等差數列，且此三數乘積為$48$，而百十個位恰為等比數列，且此四位數不是$3$的倍數，則多拉A夢寫下的四位正整數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 一瓶內裝滿水，用去$\displaystyle{\frac{1}{2}}$瓶後，再以純酒精加滿，此時瓶內酒精濃度為${{p}_{1}}$，第二次又用去$\displaystyle{\frac{1}{2}}$瓶後，再以純酒精加滿，此時瓶內酒精濃度為${{p}_{2}}$，設如此連續進行$6$次及$12$次後，所得瓶內酒精濃度依序為${{p}_{6}}$及${{p}_{12}}$，則$\displaystyle{\frac{{{p}_{12}}}{{{p}_{6}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $滿足前$n$向總和${{S}_{n}}=2{{n}^{2}}+3n-1$，$\forall n\in \mathbb{N}$，則$\sum\limits_{k=1}^{89}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{{{a}_{k+1}}}}+\sqrt{{{a}_{k}}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 設$f(x)={{x}^{15}}+2{{x}^{14}}+3{{x}^{13}}+4{{x}^{12}}+5{{x}^{11}}+6{{x}^{10}}+7{{x}^{9}}+8{{x}^{8}}+9{{x}^{7}}+10{{x}^{6}}+11{{x}^{5}}+12{{x}^{4}}+13{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}+15x+16$$g(x)$
   $=256{{x}^{15}}-225{{x}^{14}}+196{{x}^{13}}-169{{x}^{12}}+144{{x}^{11}}$$-121{{x}^{10}}+100{{x}^{9}}-81{{x}^{8}}+64{{x}^{7}}-49{{x}^{6}}$$+36{{x}^{5}}-25{{x}^{4}}+16{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+4x-1$，則$f(x)\times g(x)$展開式中${{x}^{15}}$項的係數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 胖虎與小夫參加國中會考，試後兩人互相核對答案，發現其中有一試題欲求多項式$f(x)$除以$(x-1)(x-2)$的餘式，而胖虎誤將除式看成$(x-1)(x+2)$解得餘式為$-2x+5$，無獨有偶地，小夫也看錯除式，誤以$(x+1)(x-2)$除$f(x)$解得餘式為$4x+9$，若兩人只有誤看除式，並無其他錯誤，則就上述條件可推知原題的正確答案為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 設$a$，$b\in \mathbb{N}$，$r\in \mathbb{Z}$，若${{(x-r)}^{2}}$可整除四次多項式${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+bx+2$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 設多項式$f(x)$除以$({{x}^{2}}+x+1)$得商為$g(x)$，餘式為$x+1$，而$g(x)$除以$({{x}^{2}}-1)$得餘式為$x-2$，則$f(x)$除以$({{x}^{3}}-1)$的餘式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 老沈友一幅員廣大的農場，每天巡視農場的工作，他就交給了無人機去做，他以農場正中心的器材室為原點，設定正東方為$x$軸之正向，正北方為$y$軸之方向，某日無人機自動沿三次實係數多項函數$y=f(x)$的圖形巡戈，自器材室之正西方$2$公里的$A$處飛出，途徑器材室之正北方$6$公里的$B$處，器材室之正東方$1$公里的$C$處，及器材室之正東$2$公里轉北方$4$公里的$D$處。則由上條件可推知無人機尚有經過再器材室的正東方$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公里處。
   
   
   
   
9. 大雄的班上打算於學校園遊會時販售懷舊遊戲「抽抽樂」，依內含獎品價值的不同，每格籤的售價亦不盡相同，如下圖，$1$元籤有$1$格，$3$元籤有$8$格，$5$元籤有$16$格，依此規則，由內曾向外層單價逐漸增加，試問如此$19\times 19$格的正方形遊戲盒內，若所有籤均全數售出，共可收入$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$元。
   
   
   
   
10. 實數遞迴數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $滿足${{a}_{n}}{{a}_{n+2}}+{{a}_{n}}+{{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}({{a}_{n+1}}+2)$，其中$n\in \mathbb{N}$，若${{a}_{3}}=4$，${{a}_{6}}=-41$，則${{a}_{11}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、計算題

1. 假設對於每一個自然數$n$，恆有ㄧ質數$p$整除${{3}^{n+2}}+{{4}^{2n+1}}$，試找出此質數，並證明你的推測是對的。