108上第2次段考-高雄-高雄中學-高一(題目)
範圍:


一、多重選擇題
- 設∀n∈N,⟨an⟩,⟨bn⟩∈R,⟨an⟩是等差數列,⟨bn⟩是等比數列,則下列敘述何者正確?
(1) 若a1>a2,則a4>a5
(2) 若b1>b2,則b4>b5
(3) 若a3<0且a7<0
(4) 若b1b2b3>0,則b2019>0
(5) 若b3=b2,則⟨bn⟩亦是等差數列
- 設g(x)為一次多項式,小智利用綜合除法解得多項式f(x)除以g(x)的商為x2−3x+1,計算過程如下,因有一部分遭汙漬沾染,請就可辨識部份,推論下列敘述何者正確?
(1) g(x)=x−2
(2) f(x)除以2g(x)的餘式為6
(3) f(x)除以x2−3x+1的商為x−2
(4) xf(x)除以g(x)的餘式為6
(5) (f(x))2除以x−2的餘式為9
- 設f(x)是整係數多項式,a,b∈R,若多項式ax4+(b+2)x3−x2+3x+5可被f(x)整除,而多項式ax4+(b−1)x3+4x2+8x−1除以f(x)餘x−2,則f(x)可能為下列何者?
(1) x+1
(2) x2−x−2
(3) 3x2−x−2
(4) 3x2−8x+4
(5) 3x2−4x−4
- 設f(x)=−x4+7x3−17x2+22x−5,則下列敘述何者正確?
(1) f(x)=−(x−1)4−3(x−1)3−2(x−1)2+5(x−1)+6
(2) f(x)除以(x−2)2的餘式為5x+1
(3) f(1.01)取至小數點後第2位之近似值為6.05
(4) −(x+1)4+7(x+1)3−17(x+1)2+22(x+1)−5=−x4−3x3−2x2+5x+6
(5) f(√2+1)=11√2−2
- 設△ABC,∠A=76∘,△ABC之內切圓依序切三邊¯BC、¯CA、¯AB於A1、B1、C1,其中∠C1A1B1=θ1∘,而△A1B1C1之內切圓依序切三邊¯B1C1、¯C1A1、¯A1B1於A2、B2、C2,其中∠C2A2B2=θ2∘,設依此規則連續下去,可得一數列⟨θn⟩,則下列敘述何者正確?
(1) θ1=52
(2) 若n為偶數,則θn>60
(3) 對於任意n∈N,θn>θn+2
(4) ⟨θn−60⟩是等比數列
(5) 當自然數n≥13時,|θn−60|<0.001
二、填充題(所有答案均需化至最簡,否則不予計分)
- 多拉A夢寫下一個四位正整數讓大雄猜,題示是千、百、十位恰為等差數列,且此三數乘積為48,而百十個位恰為等比數列,且此四位數不是3的倍數,則多拉A夢寫下的四位正整數為 _。
- 一瓶內裝滿水,用去12瓶後,再以純酒精加滿,此時瓶內酒精濃度為p1,第二次又用去12瓶後,再以純酒精加滿,此時瓶內酒精濃度為p2,設如此連續進行6次及12次後,所得瓶內酒精濃度依序為p6及p12,則p12p6= _。
- 數列⟨an⟩滿足前n向總和Sn=2n2+3n−1,∀n∈N,則89∑k=11√ak+1+√ak= _。
- 設f(x)=x15+2x14+3x13+4x12+5x11+6x10+7x9+8x8+9x7+10x6+11x5+12x4+13x3+14x2+15x+16g(x)
=256x15−225x14+196x13−169x12+144x11−121x10+100x9−81x8+64x7−49x6+36x5−25x4+16x3−9x2+4x−1,則f(x)×g(x)展開式中x15項的係數為 _。
- 胖虎與小夫參加國中會考,試後兩人互相核對答案,發現其中有一試題欲求多項式f(x)除以(x−1)(x−2)的餘式,而胖虎誤將除式看成(x−1)(x+2)解得餘式為−2x+5,無獨有偶地,小夫也看錯除式,誤以(x+1)(x−2)除f(x)解得餘式為4x+9,若兩人只有誤看除式,並無其他錯誤,則就上述條件可推知原題的正確答案為 _。
- 設a,b∈N,r∈Z,若(x−r)2可整除四次多項式x4+ax3+x2+bx+2,則數對(a,b)= _。
- 設多項式f(x)除以(x2+x+1)得商為g(x),餘式為x+1,而g(x)除以(x2−1)得餘式為x−2,則f(x)除以(x3−1)的餘式為 _。
- 老沈友一幅員廣大的農場,每天巡視農場的工作,他就交給了無人機去做,他以農場正中心的器材室為原點,設定正東方為x軸之正向,正北方為y軸之方向,某日無人機自動沿三次實係數多項函數y=f(x)的圖形巡戈,自器材室之正西方2公里的A處飛出,途徑器材室之正北方6公里的B處,器材室之正東方1公里的C處,及器材室之正東2公里轉北方4公里的D處。則由上條件可推知無人機尚有經過再器材室的正東方 _公里處。
- 大雄的班上打算於學校園遊會時販售懷舊遊戲「抽抽樂」,依內含獎品價值的不同,每格籤的售價亦不盡相同,如下圖,1元籤有1格,3元籤有8格,5元籤有16格,依此規則,由內曾向外層單價逐漸增加,試問如此19×19格的正方形遊戲盒內,若所有籤均全數售出,共可收入 _元。
- 實數遞迴數列⟨an⟩滿足anan+2+an+an+2=an+1(an+1+2),其中n∈N,若a3=4,a6=−41,則a11= _。
三、計算題
- 假設對於每一個自然數n,恆有ㄧ質數p整除3n+2+42n+1,試找出此質數,並證明你的推測是對的。
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