[段考] 108上第1次段考-新北-板橋高中-高一(詳解)

108上第1次段考-新北-板橋高中-高一(詳解)

範圍：翰林1-1~2-2

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一、單一選擇題(每題五分，共十分)

1. 本題均為$\sqrt{2}$與$\pi$之內分點，$\displaystyle{\frac{a\sqrt{2}+b\pi }{a+b}}$在數線上的位置如圖：
   
   ，其中圖中之$a$、$b$皆為比例。故只需比較$\displaystyle{\frac{b}{a+b}}$之大小即可比較各選項之大小關係，由此知數線上各選項之排列順序為：
   
   ，故選(4)
   
   
2. $0.42=\displaystyle{\frac{42}{100}}=\displaystyle{\frac{21}{50}}=\displaystyle{\frac{3\times 7}{2\times {{5}^{2}}}}=\displaystyle{\frac{{{2}^{a}}\times {{5}^{b}}}{2\times {{5}^{2}}}}={{2}^{a-1}}\times {{5}^{b-2}}$，故選(3)
   
   

二、多重選擇題(每題十分，錯一個選項得七分，錯兩個選項得四分，錯三個選項得一分，其餘不給分，共三十分)

1. (1)  正確，即為有理數之定義
   (2)  錯誤，反例：$a=\sqrt[3]{9}$時，${{a}^{\frac{3}{2}}}={{(\sqrt[3]{9})}^{\frac{3}{2}}}={{({{9}^{\frac{1}{3}}})}^{\frac{3}{2}}}=3$為有理數，但$a=\sqrt[3]{9}$非有理數。
   (3)  正確，若$b$、$a+b$均為有理數$\Rightarrow$$(a+b)-b=a$亦為有理數。
   (4)  正確，${{a}^{3}}$、${{a}^{7}}$均為有理數$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{{a}^{7}}}{{{({{a}^{3}})}^{2}}}}=a$亦為有理數
   (5)  錯誤，$a=\sqrt{0.4}=\sqrt{\displaystyle{\frac{2}{5}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{5}}$，其中$\sqrt{10}$為無理數$\Rightarrow$$a$為無理數。
   故選(1)(3)(4)
   
   
2. 底數為負時，指數非整數時沒有意義；底數為$0$時，指數非正數時沒有意義；$log\ a$中的$a$非正數時沒有意義。故選(4)
   
   
3. (1)  由算幾不等式知$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$$\Rightarrow$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，其中等號只成立於$a=b$時，故$a+b>\sqrt{ab}$，正確
   (2)  由算幾不等式知$\displaystyle{\frac{b}{a}}+\displaystyle{\frac{a}{b}}\ge 2\sqrt{\displaystyle{\frac{b}{a}}\cdot \displaystyle{\frac{a}{b}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{b}{a}}+\displaystyle{\frac{a}{b}}\ge 2$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{b}{a}}+\displaystyle{\frac{a}{b}}+2\ge 4$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{a+b}{a}}+\displaystyle{\frac{a+b}{b}}\ge 4$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{a}}+\displaystyle{\frac{1}{b}}\ge \displaystyle{\frac{4}{a+b}}$，其中等號成立於$\displaystyle{\frac{b}{a}}=\displaystyle{\frac{a}{b}}$，但$a$、$b$為相異正數$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{a}}+\displaystyle{\frac{1}{b}}>\displaystyle{\frac{4}{a+b}}$成立，正確。
   (3)  $\displaystyle{\frac{{{2}^{a}}+{{2}^{b}}}{2}}\ge \sqrt{{{2}^{a}}\cdot {{2}^{b}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{{2}^{a}}+{{2}^{b}}}{2}}\ge {{({{2}^{a+b}})}^{\frac{1}{2}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{{2}^{a}}+{{2}^{b}}}{2}}\ge {{2}^{\frac{a+b}{2}}}$，其中等號成立於${{2}^{a}}={{2}^{b}}$，但$a$，$b$為相異正數$\Rightarrow$${{2}^{a}}+{{2}^{b}}>{{2}^{\frac{a+b}{2}}}$成立，正確。
   (4)  錯誤，反例：$a=1$，$b=1$時，$2\cdot 2<{{2}^{\frac{1}{2}}}$
   (5)  由三角不等式，正確
   故選(1)(2)(3)(5)
   
   

三、選填題(每格六分，共六十分)※以下答案一律用最簡分數作答

1. 令$a=0.12\overline{57}$，則$100a=125.7\overline{57}$$\Rightarrow$$99a=124.5$$\Rightarrow$$990a=1245$$\Rightarrow$$a=\displaystyle{\frac{1245}{990}}=\displaystyle{\frac{83}{66}}$
   
   
2. 令${{2}^{5}}=a$，$log1000=b$$\Rightarrow$原式$=\sqrt{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}}=\left| a-b \right|=\left| 32-3 \right|=29$
   
   
3. $a=\sqrt{14-2\sqrt{40}}$$=\sqrt{10}-\sqrt{4}$$=\sqrt{10}-2$，故$a$之整數部分為$1$$\Rightarrow$$b=a-1$$=\sqrt{10}-2-1$$=\sqrt{10}-3$$\Rightarrow$$\sqrt{10}-2-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}-3}}$$=\sqrt{10}-2-(\sqrt{10}+3)$$=-5$
   
   
4. 由定義知${{10}^{k}}=11$$\Rightarrow$${{1000}^{k}}={{({{10}^{3}})}^{k}}={{({{10}^{k}})}^{3}}={{11}^{3}}=1331$
   
   
5. (1)  令${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=a$，由算幾不等式知$a\ge 2$，將${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=a$平方得${{({{2}^{x}}+{{2}^{-x}})}^{2}}={{a}^{2}}$$\Rightarrow$${{2}^{2x}}+2+{{2}^{-2x}}={{a}^{2}}$$\Rightarrow$${{4}^{x}}+{{4}^{-x}}={{a}^{2}}-2$$\Rightarrow$原方程式可寫為$4({{a}^{2}}-2)-16\cdot a+23=0$$\Rightarrow$$4{{a}^{2}}-16a+15=0$$\Rightarrow$$(2a-5)(2a-3)=0$$\Rightarrow$$a=\displaystyle{\frac{5}{2}}$或$a=\displaystyle{\frac{3}{2}}$又$a\ge 2$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{3}{2}}$不合$\Rightarrow$$a={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=\displaystyle{\frac{5}{2}}$
   (2)  令${{2}^{x}}=y$$\Rightarrow$$y+{{y}^{-1}}=\displaystyle{\frac{5}{2}}$，同乘$2y$$\Rightarrow$$2{{y}^{2}}+2=5y$$\Rightarrow$$2{{y}^{2}}-5y+2=0$$\Rightarrow$$(2y-1)(y-2)=0$$\Rightarrow$$y=\displaystyle{\frac{1}{2}}$或$2$$\Rightarrow$$x=-1$，$1$
   
   
6. 將不等式同除以$a$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{2}{a}}\le |x-\displaystyle{\frac{b}{a}}|\le \displaystyle{\frac{8}{a}}$$\Rightarrow$將不等式之範圍畫在數線上為
   
   $\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{8}{a}}-\displaystyle{\frac{2}{a}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\cdot 4$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{6}{a}}=2$$\Rightarrow$$a=3$
   
   
7. ${{3}^{50}}$$={{({{3}^{100}})}^{\frac{1}{2}}}$$={{(5.15\times {{10}^{47}})}^{\frac{1}{2}}}$$={{(51.5\times {{10}^{46}})}^{\frac{1}{2}}}$$=7.\cdots \cdots \times {{10}^{23}}$，故為$24$位數、最高位數字為$7$
   
   
8. 如圖(俯視圖)，令其兩種長度為$x$，$y$，因有$24000c{{m}^{3}}$之土壤且高度為$10cm$，故面積為$2400c{{m}^{2}}$$\Rightarrow$$2xy=2400$$\Rightarrow$$xy=1200$。圍籬長$=3x+4y$，由算幾不等式得$\displaystyle{\frac{3x+4y}{2}}\ge \sqrt{12xy}$$\Rightarrow$$3x+4y\ge 2\sqrt{12\cdot 1200}$$\Rightarrow$$3x+4y\ge 240$$\Rightarrow$$240cm$