[段考] 108上第2次段考-台北-建國中學-高一(題目)

108上第2次段考-台北-建國中學-高一(題目)

範圍：

　 答案　 詳解

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一、是非題12%(每題2分，描述正確者請打$\bigcirc$，錯誤則打$\times$)

1. 任一個在坐標平面上的矩形，至少有一雙對邊，包含其邊的直
   線的斜率會相等。
   
   
2. $L$：$ax+by+c=0$為一直線，$P({{x}_{0}}$，${{y}_{0}})$不在直線上，已知點$P$到直線$L$的距離，記為$d(P$，$L)$，且$d(P$，$L)=\displaystyle{\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}}$，有另一直線${{L}_{1}}$：$ax+by+e=0$且${{L}_{1}}$與$L$平行，若二平行線之距記為$d({{L}_{1}}$，$L)$，則$d({{L}_{1}}$，$L)= \displaystyle{\frac{\left| e-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}}$。
   
   
3. 點$A(1$，$22)$，點$B(12$，$2)$在直線$x+y=0$之相異兩側。
   
   
4. 若$d$，$e$，$f$為實數，則在坐標平面上${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+dx+ey+f=0$之圖形為一圓。
   
   
5. 平面上一直線$L$與一圓$C$的相交狀況，只可能有甲：沒有交
   點，乙：僅交於一點(切於一點)，丙：交於相異二點等三種狀
   況。
   
   
6. 平面上二相異圓${{C}_{1}}$與${{C}_{2}}$的相交狀況，只可能有甲：沒有交點，
   乙：僅交於一點(切於一點)，丙：交於相異二點等三種狀況。
   
   

二、多重選擇題20%{每題10分，每答錯一個選項扣3分，扣至該題10分至0分為止)

1. 平面上有二相異點$A$、$B$，請選出正確的選項。
   (A)  若$P$為一動點，且$\overline{PA}=3$，則所有動點$P$的軌跡的圖形為一圓。
   (B)  過$A$作一直線${{L}_{1}}$，過$B$作另一直線${{L}_{2}}$，若${{L}_{1}}$與${{L}_{2}}$垂直且${{L}_{1}}$與${{L}_{2}}$交於一點$P$，則所有動點$P$的軌跡的圖形為一圓。
   (C)  若圓${{C}_{1}}$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{d}_{1}}x+{{e}_{1}}y+{{f}_{1}}=0$與圓${{C}_{2}}$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{d}_{2}}x+{{e}_{2}}y+{{f}_{2}}=0$皆為過平面上二相異點$A$、$B$的兩個相異的圓，則直線$AB$的方程式為$({{d}_{1}}-{{d}_{2}})x+({{e}_{1}}-{{e}_{2}})y+({{f}_{1}}-{{f}_{2}})=0$
   (D)  以$A$為圓心，$r$為半徑($r$是正整數)作一圓，使$B$在此圓外，則此種圓為有限個($\overline{AB}>1$)。
   (E)  圓$C$之圓心為$A$，$r$為半徑，圓心$A$至直線$L$之距離為$d$，$P$為圓上一動點，則$P$至直線$L$之距離為$\left| d-r \right|$。
   
   
2. 平面上有一個等腰直角三角形，已知其三邊的斜率分別為${{m}_{1}}$，${{m}_{2}}$，${{m}_{3}}$且${{m}_{1}}>{{m}_{2}}>{{m}_{3}}$，請選出正確的選項。
   (A)  ${{m}_{1}}>0$
   (B)  ${{m}_{2}}\le 0$
   (C)  ${{m}_{3}}<0$
   (D)  ${{m}_{1}}=-{{m}_{3}}$
   (E)  ${{m}_{1}}{{m}_{3}}=-1$
   
   

三、填充題48%(每題6分)

1. 點$K(-1$，$-1)$，圓$C$：${{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=9$，點$P$在圓$C$上，當$P$為$(a$，$b)$時$\overline{PK}$有最大值$M$，則數對$(a$，$b$，$M)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 已知平面上有三點$A(-4$，$2)$，$B(4$，$2)$，$C(0$，$-6)$，則過此三點的圓的方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(以標準式或一般式表示)。
   
   
3. $C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+2y-20=0$，$A(1$，$1)$在圓內，過$A$之直線交圓$C$於相異二點$P$、$Q$，若$\overline{PQ}$之中點為$M$，則所有$M$點形成之軌跡的方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(以標準式或一般式表示)。
   
   
4. 直線$L$：$ax+5y-5=0$，已之斜率為$\displaystyle{\frac{2}{5}}$，$y$軸截距為$b$，且將直線$L$向上平移一單位後，與兩軸所圍成的三角形面積為$c$，求數對$(a$，$b$，$c)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知平面上有三點$A(4$，$2)$，$B(4$，$-4)$，$C(0$，$-6)$，三角形$ABC$的垂心(三角形過三頂點至對邊之垂線的交點)$H(a$，$b)$，求數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 在坐標平面上$x\ge 0$，$y\ge 0$，$x+y\le 4$，$3x+2y\ge 6$所圍成圖形的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 如圖，將此五點的坐標$(x$，$y)$分別代入$2x-y$，則哪一點會得到最大值？。
   
   
   
   
   
8. 同上圖，若直線$AB$、直線$BC$、直線$CD$、直線$DE$的斜率分別為${{m}_{AB}}$、${{m}_{BC}}$、${{m}_{CD}}$、${{m}_{DE}}$，試比較${{m}_{AB}}$、${{m}_{BC}}$、${{m}_{CD}}$、${{m}_{DE}}$之大小關係$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   

四、計算題20%(第17題占12%，第18題占8%)

1. 平面上有一定點$P(1$，$1)$，一直線$L$過$P$且與$x$軸、$y$軸分別交於$A$、$B$二點($L$不經過原點)，原點為$O$，此三點形成三角形$OAB$，
   (1)  求在第一象限所圍成的三角形$OAB$的面積的最小值$t$及當時直線$L$的方程式？
   (2)  若三角形$OAB$的面積為$4$，則滿足此種條件之直線$L$的方程式為何？(答案不只一條)
   
   
2. 二圓${{C}_{1}}$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+6y+6=0$與${{C}_{2}}$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+16x+2y+49=0$，求二圓之外公切線之交點，與外公切線的方程式？