108上第1次段考-屏東-屏東高中-高一(題目)
範圍：南一1-1~1-4
答案
詳解
一、單選題：每題$4$分，答錯不倒扣，共$20$分。
- 下列哪一個選項是正確的?
(1) ${{({{a}^{\sqrt{3}}})}^{2}}={{a}^{3}}$
(2) ${{a}^{\frac{2}{7}}}$與${{a}^{\frac{7}{2}}}$互為倒數
(3) ${{a}^{\frac{3}{5}}}=\sqrt[3]{{{a}^{5}}}$
(4) 當$a>1$時，若$p<q$，則${{a}^{p}}<{{a}^{q}}$
- 下列哪一個選項是正確的?
(1) $\log 1000=3$
(2) ${{10}^{2}}\times {{10}^{\log 0.002}}=2.002$
(3) ${{10}^{2-\log 3}}=6$
(4) ${{10}^{-\log 3}}=-3$
- 下列各組數的大小關係哪一個選項是正確的?
(1) ${{(1.7)}^{\frac{2}{3}}}>{{(1.7)}^{\frac{3}{4}}}$
(2) ${{(0.7)}^{\frac{2}{3}}}>{{(0.7)}^{\frac{3}{4}}}$
(3) ${{2}^{\sqrt{3}}}>{{2}^{\sqrt{5}}}$
(4) ${{(0.3)}^{0.2}}>{{(0.3)}^{0.3}}$
- 下列選項哪一個是正確的?
(1) $\sqrt{4}-\sqrt{5}<\sqrt{3}-\sqrt{6}$
(2) $\sqrt{5}-\sqrt{4}<\sqrt{6}-\sqrt{3}$
(3) $\sqrt{4}+\sqrt{5}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$
(4) 以上皆非
- 若正時數$x$滿足$\log x=2.8$，則$\log {{x}^{2}}$的值為下列哪一個選項?
(1) $4.8$
(2) $5.8$
(3) $5.6$
(4) $8.4$
二、多選題：每題全對得$5$分，只錯一個選項得$3$分，只錯二個選項得$1$分，其餘得$0$分，共$20$分。
- 下列敘述哪些是正確的?
(1) 若$a$、$b$為有理數，則$a+b$與$ab$也是有理數。
(2) 若$a$、$b$為無理數，則$a+b$不一定是無理數
(3) 若$a$、$b$為無理數，則$ab$也是無理數。
(4) 若$a$是有理數，則$\sqrt{a}$是無理數。
(5) 若$a$是無理數，則${{a}^{2}}$是有理數。
- 數線上，有$A(a)$，$B(b)$，$C(\displaystyle{\frac{a+2b}{3}})$，$D(\displaystyle{\frac{a+5b}{6}})$四點且$A$點在$B$點右方，試選出正確選項：
(1) $\overline{AB}=\left| a-b \right|$
(2) $B$點在$C$點左方
(3) $D$點在$C$點右方
(4) $\overline{AB}:\overline{BC}=2:3$
(5) $\overline{AD}>\overline{BC}$
- 下列選項哪些是正確的?
(1) $2.34\times {{10}^{21}}$是$21$位數。
(2) $3.11\times {{10}^{-12}}$小數點後第$12$位開始不為$0$
(3) ${{10}^{8.91}}$整數部分是$9$位數。
(4) ${{10}^{-6.12}}$小數點後第$6$位開始不為$0$。
(5) $\log 1984$介於整數$3$與$4$之間
- 試問那些選項中的方程式有解?
(1) $\left| x+2 \right|+\left| x-1 \right|=5$
(2) $\left| x+2 \right|-\left| x-1 \right|=-3$
(3) $\left| x+2 \right|+\left| x-1 \right|=2$
(4) $\left| x+2 \right|+\left| x-1 \right|=4$
(5) $\left| x+2 \right|-\left| x-1 \right|=4$
三、選填題：每題$5$分，請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡。
- 設$a$，$b$為有理數，$(3+\sqrt{3})a+(2-\sqrt{3})b=12-\sqrt{3}$，則$a+b$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 試求${{(40)}^{\frac{1}{3}}}\times {{[{{(625)}^{\frac{1}{3}}}]}^{\frac{1}{2}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 設$A(-5)$、$B(7)$、$P(x)$為數獻上三點，且$\overline{AP}:\overline{BP}=3:1$，已知$P$點在$\overline{AB}$上，則$x$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 化簡下列根式$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知$x-\displaystyle{\frac{1}{x}}=3$，則${{x}^{3}}-\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 不等式$\left| x-1 \right|+2\left| x-5 \right|\le 7$的解以區間表示為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知${{a}^{2x}}=3$，試求$\displaystyle{\frac{{{a}^{x}}+{{a}^{-x}}}{2{{a}^{x}}-{{a}^{-x}}}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 美國發財的第一艘火星探測器鳳凰號。在太空中歷經$6.8\times {{10}^{8}}$公里的航程後，終於登上火星表面。若發射第一天，鳳凰號行進了$1.43\times {{10}^{5}}$公里，第二天行進了$2.62\times {{10}^{6}}$公里，則這兩天鳳凰號一共行進$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\times {{10}^{6}}$公里。(化為科學記號，並以$3$位有效數字表示)。
- 設$a$、$b$、$s$、$r$均為正數，且滿足$\log a=1.6$，$\log b=1.2$，$s=a{{b}^{2}}$，$r=\displaystyle{\frac{{{b}^{3}}}{a}}$，則$\displaystyle{\frac{s+t}{100}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 在半徑$8$公尺的半圓中開闢一個內接矩形$ABCD$的苗圃，且$\overline{AB}$與直徑重合。其中$O$為圓心，試問此苗圃的最大面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 天文學上用”視星等”與”絕對星等”來衡量恆星的亮度，這兩個星等的關係為$M=m+5-5\log d$，其中$m$，$M$分別代表該恆星的視星等、絕對星等，$d$代表恆星與地球的距離(秒差距，$1$秒差距$\approx 3.26$光年)。已知天狼星的視星等為$-1.46$，絕對星等為$1.43$，則天狼星距離地球約為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$光年。(四捨五入至小數點後一位)
- 甲狀腺有問題的病患在手術後一段時間， 需檢查是否還有新生成不好的甲狀腺細胞，通常會使用放射性碘${{I}_{131}}$來檢驗：碘${{I}_{131}}$經由人體吸收，會累積在甲狀腺的組織中，如果身體內還殘留甲狀腺細胞，${{I}_{131}}$將附在上面，可藉由掃描偵測出來，以判斷是否需要做進一步治療。但經過一段時間，體內的${{I}_{131}}$經過$t$天後，其數量會由${{N}_{0}}$變成${{N}_{0}}\times a$，其中$a$為常數。已知${{I}_{131}}$的半衰期是$8$天($8$天候放射性元素的數量會由${{N}_{0}}$變成$\displaystyle{\frac{{{N}_{0}}}{2}}$)則${{I}_{131}}$的數量由${{N}_{0}}$變成$\displaystyle{\frac{{{N}_{0}}}{5}}$需要至少經過$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$天。(四捨五入至整數位)
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