91學年度指定科目考試數學(乙)非選擇題詳解

1. 甲地期望值$=10000\times 0.6+\left( -7000 \right)\times \left( 1-0.6 \right)$ $=3200$(元)，
   乙地期望值$=6000\times 0.7+\left( -5000 \right)\times \left( 1-0.7 \right)$ $=2700$(元)，
   故選甲地，獲利期望值為$3200$(元)
   
   
2. 令報章雜誌廣告花費$x$(單位：10萬元)
   令電台廣告花費$y$(單位：10萬元)
   可得限制條件：$\left\{ \begin{aligned} & x\ge 0 \\ & y\ge 0 \\ & 5x+6y\ge 160 \\ & 10x+4y\ge 160 \\ & 5x+6y+10x+4y\ge 360 \\ \end{aligned} \right.$，經化簡可得$\left\{ \begin{aligned} & x\ge 0 \\ & y\ge 0 \\ & 5x+6y\ge 160 \\ & 5x+2y\ge 80 \\ & 3x+2y\ge 72 \\ \end{aligned} \right.$，可作圖如
   
   得到邊界上的頂點$\left( 0，40 \right)$、$\left( 4，30 \right)$、$\left( 14，15 \right)$、$\left( 32，0 \right)$，目標函數為$x+y$(單位：$10$萬元) $\Rightarrow$將頂點代入，由頂點法知最小值發生在報章雜誌廣告花費$140$萬元、電台廣告花費$150$萬元，即總花費$290$萬元。
   
   
3. (1)  ${{a}_{2}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8\times 27}}{2}}=2$，${{a}_{3}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8\times 37}}{2}}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，${{a}_{4}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8\times 47}}{2}}=3$，${{a}_{5}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8\times 57}}{2}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{33}}{2}}$，${{a}_{6}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8\times 67}}{2}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{41}}{2}}$，${{a}_{7}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8\times 77}}{2}}=4$。
   (2)  當$k$是整數時，${{k}^{2}}-k=k(k-1)$必為連續兩整數之積，故必為偶數。
   (3)  令$\displaystyle{\frac{1+\sqrt{8n7}}{2}}=k$， $\Rightarrow$ $2k-1=\sqrt{8n-7}$ $\Rightarrow$ $n=\displaystyle{\frac{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+7}{8}}=\displaystyle{\frac{4{{k}^{2}}-4k+8}{8}}=\displaystyle{\frac{k\left( k-1 \right)}{2}}+1$，因$k(k-1)$為偶數 $\Rightarrow$ $n=\displaystyle{\frac{k\left( k+1 \right)}{2}}+1$必為整數，因此必可以找到一個項$n$使${{a}_{n}}=k$