62年大學聯考數學科試題(自)

一、多重選擇題(占60分)

說明：	第1題至第12題，每題有5個選項，每題可能有不止一個正確的敘述，也可能五個敘述都是錯的(這時不必畫任何記號)；各題答對者，得5分，必須完全選對(不能多、不能少)才得分數。

1. 假設$n$為自然數，而$\theta =\displaystyle{\frac{\pi }{n}}$，令
   $R=cos\ \theta +cos\ 2\theta +cos\ 3\theta +\cdots \cdots +cos\ 2n\theta $，
   $S=sin\ \theta +sin\ 2\theta +sin\ 3\theta +\cdots \cdots +sin\ 2n\theta $，則
   (A)  $R=0$
   (B)  $R=1$
   (C)  $R=\sqrt{n}=S$
   (D)  $S=1$
   (E)  $S=0$
   
   
2. 考慮方程式$y=\displaystyle{\frac{x}{1+x}}$的圖形$G$
   (A)  $G$就是方程式$(1-y)(x+1)=1$的圖形
   (B)  $G$是個有心二次錐線
   (C)  $G$的中心在原點
   (D)  $G$有漸近線
   (E)  若$n$足夠大，那麼$G\subset \{(x，y)|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{n}^{2}}\}$
   
   
3. 令$R=\left[ \begin{matrix}
   1 & 3 & 1 \\
   0 & -2 & 1 \\
   1 & 0 & 2 \\
   \end{matrix} \right]$，$S=\left[ \begin{matrix}
   -4 & x & 5 \\
   1 & 1 & -1 \\
   2 & 3 & -2 \\
   \end{matrix} \right]$，並設$RS=I$(單位方陣)$=\left[ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1 \\
   \end{matrix} \right]$，則
   (A)  $x=3$
   (B)  $x=-6$
   (C)  $SR\ne RS$
   (D)  $SR=I$
   (E)  ${{R}^{2}}{{S}^{2}}=1$
   
   
   
4. 若$n$是滿足不等式${{n}^{4}}<{{10}^{6}}<{{(n+1)}^{4}}$的正整數，則
   (A)  $n<29$
   (B)  $n<30$
   (C)  $n<31$
   (D)  $n<32$
   (E)  $n<33$
   
   
5. 某次考試中，一部分試題採用多重選擇題，每題五分，每題有五個敘述，其中正確的
   敘述不止一個，但也可能一個也沒有，必須完全選對才得分數五分，否則倒扣$S$分。
   設某生決心「靠運氣瞎猜」，令該生在此部分得分的數學期望值為$0$，又令他對單獨
   一題猜對的概率為$P$，則
   (A)  $P=\displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (B)  $P=\displaystyle{\frac{1}{32}}$
   (C)  $P=\displaystyle{\frac{1}{5!}}$
   (D)  $S=\displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (E)  $S<0.2$
   
   
6. (A)$sin\ \displaystyle{\frac{\pi }{4}}=cos\ \displaystyle{\frac{\pi }{4}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
   (B)  $sin\ \displaystyle{\frac{\pi }{8}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$
   (C)  $cos\ \displaystyle{\frac{\pi }{8}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$
   (D)  $sin\ \displaystyle{\frac{\pi }{16}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}$
   (E)  $cos\ \displaystyle{\frac{\pi }{16}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}$
   
   
7. 假設${{a}_{1}}={{b}_{1}}=\sqrt{2}$，又對一切自然數$n$，${{a}_{n+1}}=\sqrt{2+{{a}_{n}}}$，${{b}_{n+1}}=\sqrt{2-{{a}_{n}}}$，則($n$為自然數)
   (A)  ${{a}_{n}}<2$
   (B)  ${{a}_{n}}<{{a}_{n+1}}$
   (C)  ${{b}_{n}}<{{b}_{n+1}}$
   (D)  $\underset{n\to \infty }{\mathop{lim}}\,{{a}_{n}}=2$
   (E)  $\underset{n\to \infty }{\mathop{lim}}\,cos\ \displaystyle{\frac{\pi }{{{2}^{n}}}}=1$
   
   
8. 令$g$為正切函數$tan\ $，又令$f$為$arctan\ $(即$ta{{n}^{-1}}$)，其定義域為實數，值域為$(\displaystyle{\frac{-\pi }{2}}$，$\displaystyle{\frac{\pi }{2}})$
   ，則
   (A)  $g$的定義域是$\{\theta |\theta \ne \text{(}\displaystyle{\frac{\pi }{2}})$的奇數倍$\}$
   (B)  $g$的反函數是$cot\ $
   (C)  $g$是個「一對一，映成」函數
   (D)  $f$是個「一對一，映成」函數
   (E)  $fg$是恆同函數，即$f(g(x))=x$($x$非$\displaystyle{\frac{\pi }{2}}$的奇數倍)
   
   
9. 設$P=\{(x$，$y)|x<1\}$，$Q=\{(x$，$y)|-2\le x\le 1$，$0\le y\le 3\}$
   $R=\{(x$，$y)|xy+1<y<3-{{x}^{2}}\}$，$S=\{(x$，$y)|xy+1<y\}$
   $T=\{(x$，$y)|y<3-{{x}^{2}}\}$，$U=\{(x$，$y)|y\le 3\}$，$V=R\cap P$，則
   (A)  $R=S\cup T$
   (B)  $R=S\cap T$
   (C)  $R\subset U$
   (D)  $V\subset Q$
   (E)  $V$的面積小於$9$
   
   
   
10. 設$\theta =lo{{g}_{\frac{3}{2}}}4$，則
    (A)  $\theta <1$
    (B)  $\theta <2$
    (C)  $\theta <3$
    (D)  $\theta <4$
    (E)  $\theta <5$
    
    
11. 假設點$P=(-1$，$2)$，圓$S$為${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9$，$\overline{QR}$是直線$y-2=m(x+1)$所割$S$的弦
    而原點$O$跟點$P$連線$\overline{OP}$平分弦$\overline{QR}$，則
    (A)  點$P$在圓$S$的外部
    (B)  點$P$在圓$S$的內部
    (C)  點$P$在$\overline{QR}$上
    (D)  $m=\displaystyle{\frac{-1}{2}}$
    (E)  $m=2$
    
    
12. 設$S=\{(x$，$y)|{{(x+y)}^{2}}+4(x+y)+3\le 0\}$，
    $T=\{(x$，$y)|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y+1\le 0\}$，$R=S\cap T$，則
    (A)  $R$是個橢圓
    (B)  $R$對原點對稱
    (C)  $R$的面積$=\pi $
    (D)  $R$的面積$=2$
    (E)  $R$的面積$>\displaystyle{\frac{5}{2}}$
    

二、單一選擇題(占40分)

說明：	第13題至第22題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項」。 各題答對者，得4分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

13. 假設$\alpha $、$\beta $是二次式$\left| \begin{matrix}
    x-cos\ \theta & -sin\ \theta \\
    sin\ \theta & x-cos\ \theta \\
    \end{matrix} \right|=0$的兩根，再設$n$是整數，那麼${{\alpha }^{n}}+{{\beta }^{n}}$
    等於
    (A)  $1$
    (B)  $2sin\ n\theta $
    (C)  $-2sin\ n\theta $
    (D)  $2cos\ n\theta $
    (E)  $-2cos\ n\theta $
    
    
14. 假如${{g}_{n}}=400\cdot {{(\displaystyle{\frac{3}{4}})}^{n}}$，$n$是自然數，則${{g}_{n}}<{{10}^{-3}}$時，$n$最少是
    (A)  $45$
    (B)  $46$
    (C)  $47$
    (D)  $48$
    (E)  $49$
    
    
15. 以$(0$，$1)$，$(4$，$5)$，$(x$，$0)$為頂點作三角形，欲使周長最小，則$x$應為
    (A)  $0$
    (B)  $\displaystyle{\frac{1}{2}}$
    (C)  $\displaystyle{\frac{2}{3}}$
    (D)  $1$
    (E)  $2$
    
    
    
16. 方程式$(\displaystyle{\frac{3x+1}{x-3}})+5(\displaystyle{\frac{x-3}{3x+1}})=6$的解集合為
    (A)  $\{1$，$5\}$
    (B)  $\{-2$，$8\}$
    (C)  $\{3$，$\displaystyle{\frac{1}{3}}\}$
    (D)  $\{-1$，$5\}$
    (E)  $\{2$，$8\}$
    
    
17. 複數$(\sqrt{2}+i\sqrt{3})$滿足有理方程式：
    (A)  ${{({{x}^{2}}+1)}^{2}}=24$
    (B)  ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+25=0$
    (C)  ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+24=0$
    (D)  ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+24=0$
    (E)  ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24=0$
    
    
18. 七邊形的內角和為
    (A)  $540{}^\circ $
    (B)  $630{}^\circ $
    (C)  $720{}^\circ $
    (D)  $900{}^\circ $
    (E)  $1080{}^\circ $
    
    
19. 有兩個變數$x$，$y$的$n$次(不必齊次)多項式，經過整理後，最多可含有的項數是
    (A)  $n+1$
    (B)  $n+2$
    (C)  $(n+1)(n+2)$
    (D)  $2(n+1)(n+2)$
    (E)  $\displaystyle{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$
    
    
20. 設$0<\alpha <\displaystyle{\frac{\pi }{2}}$，則$\sqrt{1+sin\ \alpha }-\sqrt{1-sin\ \alpha }=$
    (A)  $2sin\ \displaystyle{\frac{\alpha }{2}}$
    (B)  $2cos\ \displaystyle{\frac{\alpha }{2}}$
    (C)  $sin\ \displaystyle{\frac{\alpha }{2}}cos\ \displaystyle{\frac{\alpha }{2}}$
    (D)  $sin\ \alpha +cos\ \alpha $
    (E)  $sin\ \alpha -cos\ \alpha $
    
    
21. 假設$x$，$y$滿足不等式$2\le x\le 5$，$x+y\le 8$，$x+3y\ge 5$，這時$2x+y+3$的極大值是
    (A)  $7$
    (B)  $10$
    (C)  $13$
    (D)  $16$
    (E)  $19$
    
    
22. 令$cos\ 2\theta =t$，則$4(co{{s}^{6}}\theta -si{{n}^{6}}\theta )=$
    (A)  $3t+{{t}^{3}}$
    (B)  $3t-{{t}^{3}}$
    (C)  $-3t+{{t}^{3}}$
    (D)  $-3t-{{t}^{2}}$
    (E)  $t+3{{t}^{3}}$