2018年12月26日 星期三

62年大學聯考數學科試題(自)

一、多重選擇題(占60分)

說明: 第1題至第12題,每題有5個選項,每題可能有不止一個正確的敘述,也可能五個敘述都是錯的(這時不必畫任何記號);各題答對者,得5分,必須完全選對(不能多、不能少)才得分數。
  1. 假設n為自然數,而θ=πn,令
    R=cos θ+cos 2θ+cos 3θ++cos 2nθ
    S=sin θ+sin 2θ+sin 3θ++sin 2nθ,則
    (A)  R=0
    (B)  R=1
    (C)  R=n=S
    (D)  S=1
    (E)  S=0

  2. 考慮方程式y=x1+x的圖形G
    (A)  G就是方程式(1y)(x+1)=1的圖形
    (B)  G是個有心二次錐線
    (C)  G的中心在原點
    (D)  G有漸近線
    (E)  若n足夠大,那麼G{(xy)|x2+y2n2}

  3. R=[131021102]S=[4x5111232],並設RS=I(單位方陣)=[100010001],則
    (A)  x=3
    (B)  x=6
    (C)  SRRS
    (D)  SR=I
    (E)  R2S2=1


  4. n是滿足不等式n4<106<(n+1)4的正整數,則
    (A)  n<29
    (B)  n<30
    (C)  n<31
    (D)  n<32
    (E)  n<33

  5. 某次考試中,一部分試題採用多重選擇題,每題五分,每題有五個敘述,其中正確的
    敘述不止一個,但也可能一個也沒有,必須完全選對才得分數五分,否則倒扣S分。
    設某生決心「靠運氣瞎猜」,令該生在此部分得分的數學期望值為0,又令他對單獨
    一題猜對的概率為P,則
    (A)  P=15
    (B)  P=132
    (C)  P=15!
    (D)  S=15
    (E)  S<0.2

  6. (A)sin π4=cos π4=22
    (B)  sin π8=222
    (C)  cos π8=2+22
    (D)  sin π16=22+22
    (E)  cos π16=2+2+22

  7. 假設a1=b1=2,又對一切自然數nan+1=2+anbn+1=2an,則(n為自然數)
    (A)  an<2
    (B)  an<an+1
    (C)  bn<bn+1
    (D)  limnan=2
    (E)  limncos π2n=1

  8. g為正切函數tan ,又令farctan (即tan1),其定義域為實數,值域為(π2π2)
    ,則
    (A)  g的定義域是{θ|θ(π2)的奇數倍}
    (B)  g的反函數是cot 
    (C)  g是個「一對一,映成」函數
    (D)  f是個「一對一,映成」函數
    (E)  fg是恆同函數,即f(g(x))=x(xπ2的奇數倍)

  9. P={(xy)|x<1}Q={(xy)|2x10y3}
    R={(xy)|xy+1<y<3x2}S={(xy)|xy+1<y}
    T={(xy)|y<3x2}U={(xy)|y3}V=RP,則
    (A)  R=ST
    (B)  R=ST
    (C)  RU
    (D)  VQ
    (E)  V的面積小於9


  10. θ=log324,則
    (A)  θ<1
    (B)  θ<2
    (C)  θ<3
    (D)  θ<4
    (E)  θ<5

  11. 假設點P=(12),圓Sx2+y2=9¯QR是直線y2=m(x+1)所割S的弦
    而原點O跟點P連線¯OP平分弦¯QR,則
    (A)  點P在圓S的外部
    (B)  點P在圓S的內部
    (C)  點P¯QR
    (D)  m=12
    (E)  m=2

  12. S={(xy)|(x+y)2+4(x+y)+30}
    T={(xy)|x2+y2+2x+2y+10}R=ST,則
    (A)  R是個橢圓
    (B)  R對原點對稱
    (C)  R的面積=π
    (D)  R的面積=2
    (E)  R的面積>52

二、單一選擇題(占40分)

說明: 第13題至第22題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項」。
各題答對者,得4分;答錯、未作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。
  1. 假設αβ是二次式|xcos θsin θsin θxcos θ|=0的兩根,再設n是整數,那麼αn+βn
    等於
    (A)  1
    (B)  2sin nθ
    (C)  2sin nθ
    (D)  2cos nθ
    (E)  2cos nθ

  2. 假如gn=400(34)nn是自然數,則gn<103時,n最少是
    (A)  45
    (B)  46
    (C)  47
    (D)  48
    (E)  49

  3. (01)(45)(x0)為頂點作三角形,欲使周長最小,則x應為
    (A)  0
    (B)  12
    (C)  23
    (D)  1
    (E)  2


  4. 方程式(3x+1x3)+5(x33x+1)=6的解集合為
    (A)  {15}
    (B)  {28}
    (C)  {313}
    (D)  {15}
    (E)  {28}

  5. 複數(2+i3)滿足有理方程式:
    (A)  (x2+1)2=24
    (B)  x4+2x2+25=0
    (C)  x42x2+24=0
    (D)  x4+2x2+24=0
    (E)  x4+2x224=0

  6. 七邊形的內角和為
    (A)  540
    (B)  630
    (C)  720
    (D)  900
    (E)  1080

  7. 有兩個變數xyn次(不必齊次)多項式,經過整理後,最多可含有的項數是
    (A)  n+1
    (B)  n+2
    (C)  (n+1)(n+2)
    (D)  2(n+1)(n+2)
    (E)  (n+1)(n+2)2

  8. 0<α<π2,則1+sin α1sin α=
    (A)  2sin α2
    (B)  2cos α2
    (C)  sin α2cos α2
    (D)  sin α+cos α
    (E)  sin αcos α

  9. 假設xy滿足不等式2x5x+y8x+3y5,這時2x+y+3的極大值是
    (A)  7
    (B)  10
    (C)  13
    (D)  16
    (E)  19

  10. cos 2θ=t,則4(cos6θsin6θ)=
    (A)  3t+t3
    (B)  3tt3
    (C)  3t+t3
    (D)  3tt2
    (E)  t+3t3

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