一、多重選擇題(占60分)
說明: | 第1題至第12題,每題有5個選項,每題可能有不止一個正確的敘述,也可能五個敘述都是錯的(這時不必畫任何記號);各題答對者,得5分,必須完全選對(不能多、不能少)才得分數。 |
- 假設n為自然數,而θ=πn,令
R=cos θ+cos 2θ+cos 3θ+⋯⋯+cos 2nθ,
S=sin θ+sin 2θ+sin 3θ+⋯⋯+sin 2nθ,則
(A) R=0
(B) R=1
(C) R=√n=S
(D) S=1
(E) S=0
- 考慮方程式y=x1+x的圖形G
(A) G就是方程式(1−y)(x+1)=1的圖形
(B) G是個有心二次錐線
(C) G的中心在原點
(D) G有漸近線
(E) 若n足夠大,那麼G⊂{(x,y)|x2+y2≤n2}
- 令R=[1310−21102],S=[−4x511−123−2],並設RS=I(單位方陣)=[100010001],則
(A) x=3
(B) x=−6
(C) SR≠RS
(D) SR=I
(E) R2S2=1
- 若n是滿足不等式n4<106<(n+1)4的正整數,則
(A) n<29
(B) n<30
(C) n<31
(D) n<32
(E) n<33
- 某次考試中,一部分試題採用多重選擇題,每題五分,每題有五個敘述,其中正確的
敘述不止一個,但也可能一個也沒有,必須完全選對才得分數五分,否則倒扣S分。
設某生決心「靠運氣瞎猜」,令該生在此部分得分的數學期望值為0,又令他對單獨
一題猜對的概率為P,則
(A) P=15
(B) P=132
(C) P=15!
(D) S=15
(E) S<0.2
- (A)sin π4=cos π4=√22
(B) sin π8=√2−√22
(C) cos π8=√2+√22
(D) sin π16=√2−√2+√22
(E) cos π16=√2+√2+√22
- 假設a1=b1=√2,又對一切自然數n,an+1=√2+an,bn+1=√2−an,則(n為自然數)
(A) an<2
(B) an<an+1
(C) bn<bn+1
(D) limn→∞an=2
(E) limn→∞cos π2n=1
- 令g為正切函數tan ,又令f為arctan (即tan−1),其定義域為實數,值域為(−π2,π2)
,則
(A) g的定義域是{θ|θ≠(π2)的奇數倍}
(B) g的反函數是cot
(C) g是個「一對一,映成」函數
(D) f是個「一對一,映成」函數
(E) fg是恆同函數,即f(g(x))=x(x非π2的奇數倍)
- 設P={(x,y)|x<1},Q={(x,y)|−2≤x≤1,0≤y≤3}
R={(x,y)|xy+1<y<3−x2},S={(x,y)|xy+1<y}
T={(x,y)|y<3−x2},U={(x,y)|y≤3},V=R∩P,則
(A) R=S∪T
(B) R=S∩T
(C) R⊂U
(D) V⊂Q
(E) V的面積小於9
- 設θ=log324,則
(A) θ<1
(B) θ<2
(C) θ<3
(D) θ<4
(E) θ<5
- 假設點P=(−1,2),圓S為x2+y2=9,¯QR是直線y−2=m(x+1)所割S的弦
而原點O跟點P連線¯OP平分弦¯QR,則
(A) 點P在圓S的外部
(B) 點P在圓S的內部
(C) 點P在¯QR上
(D) m=−12
(E) m=2
- 設S={(x,y)|(x+y)2+4(x+y)+3≤0},
T={(x,y)|x2+y2+2x+2y+1≤0},R=S∩T,則
(A) R是個橢圓
(B) R對原點對稱
(C) R的面積=π
(D) R的面積=2
(E) R的面積>52
二、單一選擇題(占40分)
說明: | 第13題至第22題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項」。 各題答對者,得4分;答錯、未作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。 |
- 假設α、β是二次式|x−cos θ−sin θsin θx−cos θ|=0的兩根,再設n是整數,那麼αn+βn
等於
(A) 1
(B) 2sin nθ
(C) −2sin nθ
(D) 2cos nθ
(E) −2cos nθ
- 假如gn=400⋅(34)n,n是自然數,則gn<10−3時,n最少是
(A) 45
(B) 46
(C) 47
(D) 48
(E) 49
- 以(0,1),(4,5),(x,0)為頂點作三角形,欲使周長最小,則x應為
(A) 0
(B) 12
(C) 23
(D) 1
(E) 2
- 方程式(3x+1x−3)+5(x−33x+1)=6的解集合為
(A) {1,5}
(B) {−2,8}
(C) {3,13}
(D) {−1,5}
(E) {2,8}
- 複數(√2+i√3)滿足有理方程式:
(A) (x2+1)2=24
(B) x4+2x2+25=0
(C) x4−2x2+24=0
(D) x4+2x2+24=0
(E) x4+2x2−24=0
- 七邊形的內角和為
(A) 540∘
(B) 630∘
(C) 720∘
(D) 900∘
(E) 1080∘
- 有兩個變數x,y的n次(不必齊次)多項式,經過整理後,最多可含有的項數是
(A) n+1
(B) n+2
(C) (n+1)(n+2)
(D) 2(n+1)(n+2)
(E) (n+1)(n+2)2
- 設0<α<π2,則√1+sin α−√1−sin α=
(A) 2sin α2
(B) 2cos α2
(C) sin α2cos α2
(D) sin α+cos α
(E) sin α−cos α
- 假設x,y滿足不等式2≤x≤5,x+y≤8,x+3y≥5,這時2x+y+3的極大值是
(A) 7
(B) 10
(C) 13
(D) 16
(E) 19
- 令cos 2θ=t,則4(cos6θ−sin6θ)=
(A) 3t+t3
(B) 3t−t3
(C) −3t+t3
(D) −3t−t2
(E) t+3t3
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