[歷屆] 第一冊1-1：實數

主題一：有理數

範例1：

將$0.06\overline{45}$化為最簡分數。

答案：$\displaystyle{\frac{71}{1100}}$

【79年聯考】

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範例2：

將$\displaystyle{\frac{(1+\displaystyle{\frac{11}{2}})(1+\frac{11}{3})\cdots (1+\frac{11}{11})}{(1+\displaystyle{\frac{13}{2}})(1+\frac{13}{3})\cdots (1+\frac{13}{13})}}$化為最簡分數。

答案：$\displaystyle{\frac{91}{1150}}$

【81年聯考】

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範例3：

試選出正確的選項：

(1)  $0.3\overline{43}$不是有理數

(2)  $0.\overline{34}>\displaystyle{\frac{1}{3}}$

(3)  $0.\overline{34}>0.343$

(4)  $0.\overline{34}<0.35$

(5)  $0.\overline{34}=0.3\overline{43}$

答案：(2)(3)(4)(5)

【88年學測】

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範例4：

下列有關循環小數的敘述中，請選出正確的選項：

(1)  $0.\overline{7}+0.\overline{3}=0.\overline{6}+0.\overline{4}$

(2)  $0.\overline{72}+0.\overline{28}=1.\overline{1}$

(3)  $0.\overline{7}+0.\overline{3}=1$

(4)  $0.\overline{5}+\overline{5}=1.\overline{1}$

(5)  $0.4\overline{9}=0.5$

答案：(1)(4)(5)

【102年指考】

主題二：實數

範例1：

設$a=\sqrt{7+\sqrt{47}}$，則$a$在哪兩個連續整數之間?

(A)  $0$與$1$

(B)  $1$與$2$

(C)  $2$與$3$

(D)  $3$與$4$

(E)  $4$與$5$

答案：(D)

【83年聯考】

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範例2：

將一張B4的長方形紙張對折剪開之後，成為B5的紙張，其形狀跟原來B4的形狀相似。已知B4紙張的長邊為$36.4$公分，則B4紙張的短邊長為　　　　。

答案：$25.7$

【90年學測】

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範例3：

設實數$a$，$b$滿足$0$<$a$<$1$，$0$<$b$<$1$，則下列選項哪些必定為真?

(1)  $0<a+b<2$

(2)  $0<ab<1$

(3)  $-1<b-a<0$

(4)  $0<a$/$b<1$

(5)  $\left| a-b \right|<1$

答案：(1)(2)(5)

【91年學測】

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範例4：

標準身材定義是$\displaystyle{\frac{肚臍高度}{身高}}=\displaystyle{\frac{肚臍與頭頂距離}{肚臍高度}}$，有一身高$150$公分，肚臍高度$90$公分的女孩，欲借穿高跟鞋來提高身高與肚臍高度，滿足標準身材定義。試問該女孩穿多少公分的高跟鞋較恰當?(取最接近的整數)

(1)  $1$

(2)  $3$

(3)  $5$

(4)  $7$

(5)  $9$

答案：(4)

【93年指考】

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範例5：

$\sqrt{\displaystyle{\frac{1}{{{5}^{2}}}}+\displaystyle{\frac{1}{{{4}^{2}}}}+1}$等於下列哪一個選項?

(1)  $1.01$

(2)  $1.05$

(3)  $1.1$

(4)  $1.15$

(5)  $1.21$

答案：(2)

【101年學測】

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範例5：

設$k$為一整數。已知$\displaystyle{\frac{k}{3}}<\sqrt{31}<\displaystyle{\frac{k+1}{3}}$，則$k$=　　　　。

答案：$16$

【102年學測】

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範例6：

關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1)  $\sqrt{13}>3.5$

(2)  $\sqrt{13}<3.6$

(3)  $\sqrt{13}-\sqrt{3}>\sqrt{10}$

(4)  $\sqrt{13}+\sqrt{3}>\sqrt{16}$

(5)  $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}}>0.6$

答案：(1)(4)

【103年學測】

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主題三：乘法公式

範例1：

設$f(x)=\displaystyle{\frac{(x^{15}+1)(x+1)}{(x^5+1)(x^3+1)}}$，則

(A)  $f(x)$不是多項式

(B)  $f(x)=\displaystyle{\frac{x^{10}-x^{5}+1}{x^2-x+1}}$

(C)  $f(x)=\displaystyle{\frac{x^{12}-x^6+1}{x^4-x^3+x^2-x+1}}$

(D)  $f(x)=x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1$

(E)  $f(x)=x^8+x^7+x^6-x^5-x^4-x^3+x^2+x+1$

答案：(A)(B)(D)

【63年聯考】

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範例2：

下列各多項式，哪些可以分解成兩個或兩個以上整係數多項式的乘積?

(A)    ${{x}^{2}}+x+1$

(B)    ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1$

(C)    ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1$

(D)    ${{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1$

(E)    ${{x}^{9}}+{{x}^{8}}+{{x}^{7}}+\cdots \cdots +x+1$

答案：(B)(D)(E)

【77年聯考】

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範例3：

若實數$a$，$b$，$c$滿足$abc>0$，$ab+bc+ca<0$，$a+b+c>0$，$a>b>c$，則下列選項何者為真？

(1)  $a>0$

(2)  $b>0$

(3)  $c>0$

(4)  $|a|>|b|$

(5)  ${{a}^{2}}>{{c}^{2}}$

答案：(1)(4)(5)

【91年學測】

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主題四：算幾不等式

範例1：

設$a$，$b$為任意實數，但$0<a<1$，$0<b<1$，則

(A)   $a(1-a)\le \displaystyle{\frac{1}{4}}$

(B)   ${{a}^{2}}+{{b}^{\text{2}}}\le 2ab$

(C)   $\left| a-b \right|<1-ab$

(D)   $1+ab>a+b$

(E)   $4(1-a)(1-b)>{{(2-a-b)}^{2}}$

答案：(A)(C)(D)

【63年聯考】

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範例2：

線段$\overline{AB}$長$=12$，在線段上任取一點P，則兩線段$\overline{AP}$，$\overline{PB}$長度的積之極大值$M$為　　　　。

答案：$36$

【68年聯考】

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範例3：

一農夫想用$66$公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬$2$公尺的出入口，如下圖示。此農夫所能圍成的最大面積為　　　　平方公尺。

答案：$289$

【95年指考】

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範例4：

設$a$、$b$、$c$分別為函數$f(x)=x+\displaystyle{\frac{2}{x}}$、$g(x)={{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{2}{{{x}^{2}}}}$、$h(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{2}{{{x}^{2}}}}}$在$x$為任意正實數時的最小值。試問下列哪些選項是正確的？

(1)  $b={{a}^{2}}$

(2)  $c={{2}^{\frac{3}{4}}}$

(3)  $f(x)+g(x)$在$x$為任意正實數時的最小值為$a+b$

(4)  $g(x)+h(x)$在$x$為任意正實數時的最小值為$b+c$

答案：(2)(4)

【99年指考】

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範例5：

如圖所示，$PQRS$為一給定的矩形，長$\,\overline{PQ}=12$、寬$\,\overline{QR}=5$，而$\,\Delta ABC\,$為等腰三角形，其中$\overline{AB}=\overline{AC}$，$P$、$Q\,$在$\overline{BC}$邊上，$R$、$S\,$分別在$\overline{CA}$、$\overline{AB}$邊上，則當$\Delta ABC\,$中$\overline{BC}$邊上的高為　　　　時，$\vartriangle ABC\,$的面積為最小。

答案：$10$

【100年指考】

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