[段考] 108上第2次段考-台北-北一女中-高一(題目)

108上第2次段考-台北-北一女中-高一(題目)

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一、多重選擇題(每題10分，共30分)

1. 試問下列敘述哪些正確？
   (1)  已知正數$x$，則必存在某一正數$y$使得$x={{10}^{y}}$
   (2)  ${{(\displaystyle{\frac{1}{10}})}^{\log 2}}<{{(\displaystyle{\frac{1}{10}})}^{\log 3}}$
   (3)  ${{10}^{2\log 3}}=9$
   (4)  ${{10}^{\log 9}}\times {{100}^{\log 3}}=81$
   (5)  若兩正數$x$、$y$滿足$\log x=\log y+1$，則$x=\displaystyle{\frac{y}{10}}$
   
2. 右圖中，$\overleftrightarrow{AB}$、$\overleftrightarrow{BC}$、$\overleftrightarrow{CD}$、$\overleftrightarrow{DA}$27的斜率分別為${{m}_{AB}}$、${{m}_{BC}}$、${{m}_{CD}}$、${{m}_{DA}}$，試問下列敘述哪些成立？
   (1)  四個斜率值中以${{m}_{CD}}$為最大
   (2)  四個斜率值，介於$-1$與$1$之間
   (3)  四個斜率的絕對值均大於$1$
   (4)  四個斜率值的總和等於$0$
   (5)  ${{m}_{BC}}+{{m}_{CD}}>0$
   
   
   
   
   
3. 試問下列聯立不等式或聯立方程式哪些是無解？
   (1)  $\left\{ \begin{array}{l}
   29x-37y=47 \\
   53x+67y=79 \\
   \end{array} \right.$
   (2)  $\left\{ \begin{array}{l}
   11x+23y\ge 31 \\
   7x-13y\le 23 \\
   \end{array} \right.$
   (3)  $\left\{ \begin{array}{l}
   6x+10y\ge 60 \\
   3x+5y\le 19 \\
   \end{array} \right.$
   (4)  $\left\{ \begin{array}{l}
   {{(x-3)}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}=9 \\
   x+y=8 \\
   \end{array} \right.$
   (5)  $\left\{ \begin{array}{l}
   {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
   x+y=2 \\
   \end{array} \right.$
   
   

二、填充題(每格5分、共60分)

1. 已知四正數$a$、$b$、$c$、$d$且$\log a=5.2$、$\log b=5.4$、$\log c=2.2$、$\log d=2.4$，則$\displaystyle{\frac{b-a}{d-c}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 根據統計資料，在$A$小鎮當某件訊息發布後，$t$小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的$100(1-{{2}^{-kt}})%$，其中$k$是某個大於$0$的常數。今有某訊息，假設在發布後$3$小時之內已經有$70%$的人口聽到該訊息。$T$小時後，至少有$90%$的人口已聽到該訊息，則$T$至少要$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$小時。($T$為正整數。已知$\log 2=0.3010$，$\log 3=0.4771$，$\log 0.2=-0.6990$，$\log 0.3=-0.5229$)
   
   
3. 有一直線$L:\displaystyle{\frac{x}{a}}+\displaystyle{\frac{y}{b}}=1$過點$(6$，$6)$且與兩坐標軸在第四象限所圍的三角形面積為$9$，則此直線$L$的方程式：$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(請寫截距式)
   
   
4. 在$\vartriangle ABC$中，$B(2$，$3)$，$C(8$，$2)$，垂心$H(\displaystyle{\frac{34}{7}}$，$\displaystyle{\frac{36}{7}})$，則頂點$A$的坐標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 聯立不等式：$\left\{ \begin{array}{l}
   0\le 2x-y\le 8 \\
   0\le 2x+y\le 8 \\
   \end{array} \right.$所圍的四邊形區域被直線$L:y=m(x-4)+4$等分它的面積，則$m=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 圓$C$上一點$(2$，$1)$，圓$C$的圓心在第三象限且在直線$2x-3y=1$，圓半徑$=\sqrt{13}$，則此圓$C$的方程式：$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(請寫標準式)。
   
   
7. 已知$P(a,b)$為圓$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-12y+20=0$上的動點，若$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$的最大值為$M$，最小值$m$，則數對$(M$，$m)$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 線段$\overline{AB}=20$，點$C$為$\overline{AB}$的中點。現將$\overline{AB}$的端點$A$放在$x$軸上且另一端點$B$放在$y$軸上，當點$A$在$x$軸上左右移動時，另一端點$B$則在$y$軸上上下移動，請問此時點$C$的軌跡方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 兩直線$3x+4y=1$與$3x+4y=11$與圓所截的弦長皆為$2\sqrt{15}$，則圓面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 點$A(-6$，$-10)$，圓$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=36$的圓心O，自$A$向圓$C$做切線，切線斜率為$m$，切點為$P$，$Q$。$\vartriangle OPQ$的外接圓面積為$l$，則數對$(l$，$m)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 光線$L$經過點$A(5$，$2)$後，被$x$軸反射，其反射的光線$M$與圓$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-4y-3=0$相切，則直線$L$的方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 平面上，已知點$A(5$，$5)$，點$B$、點$C$分別為直線$2x-y=0$與$x$軸上的動點，則$\vartriangle ABC$周長的最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、計算題(共10分)

1. 已知直線$L:y=2x+k$在圓${{C}_{1}}:{{x}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=4$，圓${{C}_{2}}:{{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$之間通過，且與兩圓均不相交，則$k$值的範圍為何？請詳列計算過程。