[段考] 108上第2次段考-新竹-實驗中學-高一(題目)

108上第2次段考-新竹-實驗中學-高一(題目)

範圍：龍騰單元6~單元8

詳解

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一、計算題(請將答案填入答案卷，並附計算過程，無計算過程，以0分計算)

1. 設$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+ax+by+c=0$是一個圓，$P({{x}_{0}}$，${{y}_{0}})$是給定的一個點，試證：若$P$在圓$C$內部，則以$P$為中點之弦長$=2\sqrt{-({{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c)}$(4%)
   
   
2. 設二次方程式$a{{x}^{2}}+bx+c=0$的兩根是$\left\{ \begin{array}{l}
   \alpha =\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}} \\
   \beta =\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}} \\
   \end{array} \right.$，則可得$\left\{ \begin{array}{l}
   \alpha +\beta =-\displaystyle{\frac{b}{a}} \\
   \alpha \beta =\displaystyle{\frac{c}{a}} \\
   \end{array} \right.$。試利用上述文章，證明下列命題：若$y=a{{x}^{2}}+bx+c$($a\ne 0$)，與$x$軸交於$A$，$B$二點，則以$\overline{AB}$為直徑之圓方程式為${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\displaystyle{\frac{b}{a}}x+\displaystyle{\frac{c}{a}}=0$
   
   

二、多重選擇題(最少1個答案，每題7分，錯一個得4分，錯兩個得1分，錯三個以上得0分)

1. 設一個撞球檯，其一邊在$L$上，已知$(0$，$1)$、$(2$，$0)$在$L$上，如圖所示。白球由點$(-4$，$1)$打出去，碰撞檯邊$P$點，再折向撞擊$B$球，$B$球位置在點$(1$，$-2)$，則下列敘述何者正確?
   (A)  直線$L$的斜率為$-\displaystyle{\frac{1}{2}}$
   (B)  直線$L$的方程式為$y=2x-4$
   (C)  過$B$點且垂直$L$的直線方程式為$2x-y=4$
   (D)  $B$點關於$L$的對稱點為$(3$，$2)$
   (E)  該白球由$A$經$P$到$B$所行的距離為$\overline{AP}+\overline{BP}=5\sqrt{2}$
   
   
   
   
2. 若三實數$abc\ne 0$，且直線$L$：$ax+by+c=0$與圓$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$相切，則以$\left| a \right|$，$\left| b \right|$，$\left| c \right|$為三邊的三角形$ABC$之形狀為
   (A)  鈍角三角形
   (B)  直角三角形
   (C)  銳角三角形
   (D)  正三角形
   (E)  不存在
   
   
3. 圓${{C}_{1}}$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y-26=0$與${{C}_{2}}$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+4=0$有幾條公切線?
   (A)  $0$
   (B)  $1$
   (C)  $2$
   (D)  $3$
   (E)  $4$條
   
   
4. 自點$P(1$，$1)$作圓$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+3=0$之一割線，交圓$C$於$Q$，$R$，則$\overline{PQ}\times \overline{PR}$之值$=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (A)  $\sqrt{2}$
   (B)  $2$
   (C)  $3$
   (D)  $5$
   (E)  $7$
   
   
   
   
5. $m\in \mathbb{R}$，若${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2mx+(2m+4)y+3{{m}^{2}}+m=0$，則下列何者正確?
   (A)  $-1<m<4$表一圓
   (B)  $m>4$或$m<-1$表一圓
   (C)  當$m=4$或$-1$時代表一點
   (D)  當$m=-\displaystyle{\frac{3}{2}}$時有最大面積
   (E)  此圓之最大面積為$\displaystyle{\frac{25}{4}}\pi $
   
   
6. 下列條件何者恰可決定一圓?
   (A)  過三點$(-1$，$10)$，$(3$，$8)$，$(7$，$6)$
   (B)  以點$(1$，$3)$為圓心且與直線$x+2y-7=0$相切
   (C)  同時與三直線$x=-2$，$y=1$，$x-y=2$相切的圓
   (D)  過點$(4$，$2)$且圓心在$x-y=0$上
   (E)  圓心在$(2$，$2)$且與兩座標軸同時相切
   
   
7. 設二元二次方程式$a{{x}^{2}}+bxy-{{y}^{2}}+dx+ey+f=0$為圓方程式，則下列何者非真?
   (A)  $a=-1$
   (B)  ${{d}^{2}}+{{e}^{2}}-4f>0$
   (C)  圓心$(\displaystyle{\frac{d}{2}}$，$\displaystyle{\frac{e}{2}})$
   (D)  $b=0$
   (E)  此圓的半徑為$\sqrt{f+\displaystyle{\frac{{{d}^{2}}}{4}}+\displaystyle{\frac{{{e}^{2}}}{4}}}$
   
   
8. 已知$A(2$，$3)$，$B(2$，$-3)$，若$\overline{AB}$與$L$：$x+ky+4=0$相交，選出可能的$k$值：
   (A)  $-3$
   (B)  $-1$
   (C)  $1$
   (D)  $2$
   (E)  $3$
   
   
9. 圓外一點$P(8$，$2)$作圓$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-4y+4=0$之二切線，切點分別為$A$，$B$，試選出正確的敘述。
   (A)  $\overline{PA}=\sqrt{20}$
   (B)  $\vartriangle ABP$的外接圓的方程式為${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-11x-4y+28=0$
   (C)  直線$AB$的方程式為$5x-2y=0$
   (D)  $\overline{AB}$的長為$\displaystyle{\frac{24}{5}}$
   (E)  四邊形$AOBP$的面積為$24$
   
   

三、填入題(請將答案填入答案卷，每格全對才給分)

1. 設$A(5$，$3)$，$B(10$，$0)$，點$P$在直線$3x-y=6$上，若${{\overline{PA}}^{2}}+{{\overline{PB}}^{2}}$最小，則此時$P$之座標$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(2%)
   
   
2. 在$x\ge 0$，$y\ge 0$，${{L}_{1}}$：$x+2y\ge 2$，${{L}_{2}}$：$4x+3y\le 12$的限制條件下，則
   (1)  ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  $\displaystyle{\frac{y+1}{x+3}}$的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設$x$，$y$為整數，且$P(x$，$y)$為滿足聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
   x-y\le 4 \\
   x+2y\ge 7 \\
   y\le 4 \\
   \end{array} \right.$的格子點，則如此的$P$點共有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個。(4%)
   
   
4. 已知圓$C$：${{(x-4)}^{2}}+{{(y-6)}^{2}}=9$，有一光線從$P(2$，$-2)$出發，碰到$y$軸反射到圓$C$的圓周上，則此光線行進的最短距離為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知$a$，$b$，$c$為實數，且$3({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=4{{c}^{2}}$，$c\ne 0$，若直線$L$：$ax+by+c=0$與圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$交於相異兩點$P$，$Q$，試求弦$\overline{PQ}$的長。(4%)
   
   
6. 設$A(1$，$4)$與$B(3$，$-2)$為坐標平面上兩點，若$\overline{AB}$為圓$C$上的一弦，且弦心距為$\sqrt{10}$，則圓$C$方程式的圓心為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(二解)(4%)
   
   
7. 下圖中，地面同一直線上原有三根垂直地面的小柱子$\overline{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}$，$\overline{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}$，$\overline{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}$，已知$\overline{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=2\overline{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}=1$，$\overline{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}=1$且$\overline{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=2$，$\overline{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=1$，今欲在此三根小柱子上架設一圓型看板，當工作人員將圓型看板架設完成後，擔心看板不牢靠，欲在距$\overline{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}$的小柱子$3$單位處架設第四根柱子$\overline{{{D}_{1}}{{D}_{2}}}$，使看板更牢靠，試問第四根柱子$\overline{{{D}_{1}}{{D}_{2}}}$的高為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(4%)