[段考] 108上第1次段考-新竹-實驗中學-高一(題目)

108上第1次段考-新竹-實驗中學-高一(題目)

範圍：龍騰單元1~5

詳解

---

一、計算題(請將答案填入答案卷，請用藍色或黑色原子筆作答，違者$0$分計，答案請直接作在答案卷，並附計算過程，無計算過程，以$0$分計算。)

1. $log9\approx 0.9542$，$log6\approx 0.7781$，求：
   (1)  ${{9}^{10}}$是幾位數?(3%)，又${{9}^{10}}$的最高位數字是多少?(3%)
   (2)  ${{6}^{-20}}$表為小數時，小數點後第幾位數字才開始不為$0$?(3%)，此位數字為何?(3%)
   
   
2. 試證：$\sqrt{2}$是無理數(3%)
   
   
3. 設$a$，$b$，$c$是三角形的三邊長且${{27}^{a}}+{{27}^{b}}+{{27}^{c}}={{3}^{a+b+c+1}}$，證明此三角形是正三角形(3%)
   
   
4. 數學老師在黑板上出了一道題目：
   「已知$x>0$，$y>0$，若$2x+y=12$，求$xy$的最大值為何?」
   隨後並抽到不打掃等老師打掃且晨會遲到升旗遲到中午吃手機同學上臺解題，以下是此同學的解法：
   「因為算幾不等式$\displaystyle{\frac{x+y}{2}}\ge \sqrt{xy}$，其中等號成立的條件為$x=y$，所以代入$2x+y=12$可得$x=y=4$，故$xy$的最大值為$16$」
   (1)  若$2x+y=12$且$2x=y$，則$xy$之值為何?(3%)
   (2)  問：此同學的解法是否正確?(1%)，若解法有誤，請寫出正確的答案。(2%)
   
   

二、多重選擇題(至少$1$個答案，每題$5$分。錯一個得$3$分，錯兩個得$1$分，錯三個以上得$0$分)

1. 下列有關循環小數的敘述中，請選出正確的選項。
   (A)  $0.\overline{7}+0.\overline{3}=0.\overline{6}+0.\overline{4}$
   (B)  $0.\overline{72}+0.\overline{28}=1.\overline{1}$
   (C)  $0.\overline{7}+0.\overline{3}=1$
   (D)  $0.\overline{5}+0.\overline{5}=1.\overline{1}$
   (E)  $0.4\overline{9}=0.5$
   
   
2. 設$O(0)$，$A(a)$，$B(b)$為數線上相異三點，且滿足${{a}^{3}}<{{b}^{3}}$，$\left| ab \right|>ab$，$\left| a \right|>\left| b \right|$，試問$O$、$A$、$B$三點在數線上的位置可能為下列何者?
   (A)  
   
   
   (B)  
   
   
   (C)  
   
   
   (D)  
   
   
   (E)  
   
   
   
   
3. $x$、$y$為實數，已知$\left| x+1 \right|\le 3$，$\left| y-2 \right|\le 1$，則下列選項哪些正確?
   (A)  $-10\le 3x+2y\le 12$
   (B)  $-14\le 3x-2y\le 0$
   (C)  $-12\le xy\le 6$
   (D)  $-4\le \displaystyle{\frac{x}{y}}\le \displaystyle{\frac{2}{3}}$
   (E)  $1\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 25$
   
   
4. 設$a$為正實數，若${{a}^{1}}-{{a}^{-1}}=\sqrt{5}$，下列哪些選項是正確的?
   (A)  ${{a}^{1}}+{{a}^{-1}}=3$
   (B)  ${{a}^{2}}+{{a}^{-2}}=7$
   (C)  ${{a}^{4}}+{{a}^{-4}}=45$
   (D)  ${{a}^{2}}-{{a}^{-2}}=3\sqrt{5}$
   (E)  ${{a}^{3}}+{{a}^{-3}}=18$
   
   
5. 阿杉、阿寶、阿明、阿涵住在位於同一直線的豪華社區中，在社區的中間設有一座噴水池。已知阿杉與阿寶分別住在距離噴水池左邊$\sqrt{11}$、$\sqrt{2}$公尺處，
   而阿明與阿涵則分別住在距離噴水池的右邊$\sqrt{5}$、$\sqrt{14}$公尺處。
   下列有關於此四人的敘述哪些是正確的?
   (A)  阿明的住家位於阿寶與阿涵的住家之間
   (B)  阿寶與阿涵兩人的住家距離最遠
   (C)  阿杉與阿寶兩人的住家距離最近
   (D)  阿杉與阿寶兩人的住家距離比阿明與阿涵兩人住家距離還遠
   (E)  阿杉與阿明兩人的住家距離比阿寶與阿涵兩人住家距離還遠
   
   

三、填入題(請將答案填入答案卷，每格要全對才給分)

1. 自然數${{3}^{12}}-{{7}^{6}}$之最大質因數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(3%)
   
   
2. 將$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}}$化簡可得$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$，試求$a+b+c$之值(3%)
   
   
3. 設$a$為整數，則滿足$2<\left| 2a-3 \right|<50$的$a$值有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個。(3%)
   
   
4. 數線上有兩點$A(-5)$、$B(7)$滿足$\overline{AC}:\overline{BC}=3:2$的點$C$有兩個，試求這兩個點之間的距離。(最簡分數)(3%)
   
   
5. 小江某日執行一計算，因精神不濟，將一正數「乘以$0.\overline{5}$」誤計算為「乘以$0.55$」，導致所得結果相差$3$，則此正數應為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(3%)
   
   
6. 已知$a\ne b$且$\displaystyle{\frac{a}{b}}+\displaystyle{\frac{b}{a}}=6$，試求${{(\displaystyle{\frac{a+b}{a-b})}}^{2}}$的值。(4%)
   
   
7. 設$a>0$且${{a}^{4x}}=\sqrt{29-12\sqrt{3+2\sqrt{2}}}$，試求$\displaystyle{\frac{{{a}^{6x}}+{{a}^{-6x}}}{{{a}^{2x}}+{{a}^{-2x}}}}$之值。(4%)
   
   
8. $a$、$b$均為正實數，且$\displaystyle{\frac{{{a}^{\frac{2}{3}}}\sqrt{{{b}^{-1}}}}{{{b}^{3}}\sqrt{{{a}^{-2}}}}}+{{\left( \sqrt{\displaystyle{\frac{a\sqrt{{{b}^{-4}}}}{b\sqrt{{{a}^{-2}}}}}} \right)}^{6}}={{a}^{x}}{{b}^{y}}$，其中$x$、$y$為實數，則求數對$(x$，$y)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(4%)
   
   
9. 放射性物質的半衰期$T$定義為每經過時間$T$，該物質的質量會衰退成原來的一半。已知某放射性物質重$200$克，若$3$年後剩下$50$克，則半衰期為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$年。(4%)
   
   
10. 如圖，有一塊斜邊長為$12$公尺的等腰直角三角形形狀的花園，今欲在此花園中挖出一個面積最大的矩形水池，且水池的一邊長是在三角形的斜邊上，則此水池的最大面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方公尺。(4%)(提示：設$\overline{AD}=a$公尺，$\overline{DG}=b$公尺)
    
    
    
    
    
11. 在寒冷的冬天裡，亮宇想煮山藥排骨湯來暖身，參考了以下食譜：
    食材：排骨、山藥、蔥、薑、鹽。
    作法：
    (1)  將排骨用熱水燙煮一下撈起，再用清水洗淨。
    (2)  山藥洗淨，去皮切塊。
    (3)  鍋裡加滿水，放入排骨，將水煮開。
    (4)  放入薑片與蔥，轉小火。
    (5)  煮$20$分鐘後，放入山藥，開中火沸騰後再轉小火。
    (6)  煮$30$分鐘後加入適量的鹽，再煮$3\tilde{\ }4$分鐘即可。
    於是亮宇先從冰箱取出排骨，放在$24{}^\circ C$的室溫下解凍，設放置$t$小時候排骨的溫度為$24-{{5}^{5-t}}({}^\circ C)$。若想解凍至排骨的溫度為$20{}^\circ C$，則應該放置在$24{}^\circ C$的室溫下解凍$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$小時後再開始料理。(4%)
    
    
12. $2016$年政府為了改善勞工的工作權利，提出「一例一休」的修法。期間勞資雙方針對工時及薪資的條件因有不同的看法而爭論不休，以致$2017$年又提出新的修正方案。依據$2016$年提出的想法，關於加班費的計算方法舉例如下：
    以月薪$36000$元，換算日新$1200$元，時薪$150$元試算：($1$個月$30$天，每日工時$8$小時)
    

    	新法規定	試算
    工作日	加班前$2$小時： 每小時加給原本時薪$\displaystyle{\frac{1}{3}}$的薪水	加班前$2$小時： $150$$+$$150$$\times $$\displaystyle{\frac{1}{3}}$$=$$200$(元$/$小時)
    	第$3$個小時開始： 每小時要加給原本時薪$\displaystyle{\frac{2}{3}}$的薪水	第$3$個小時開始： $150$$+$$150$$\times $$\displaystyle{\frac{2}{3}}$$=$$250$(元$/$小時)
    		例：若加班$4$小時，可領加班費$200$$\times $$2$$+$$250$$\times $$2$$=$$900$元
    休息日	加班前$2$小時： 每小時加給原本時薪$1\displaystyle{\frac{1}{3}}$的薪水 (每小時再加給原本時薪$\displaystyle{\frac{1}{3}}$的薪水)	加班前$2$小時： $150$$+$$150$$\times $$\displaystyle{\frac{1}{3}}$$=$$200$(元$/$小時)
    	第$3$個小時開始： 每小時要加給原本時薪$1\displaystyle{\frac{2}{3}}$的薪水 (每小時再加給原本時薪$\displaystyle{\frac{2}{3}}$的薪水)	第$3$個小時開始： $150$$+$$150$$\times $$\displaystyle{\frac{2}{3}}$$=$$250$(元$/$小時)
    		例：若加班$8$小時，可領一天原薪$1200$元 和$8$小時加班費$200$$\times $$2$$+250$$\times $$6$$=$$1900$元，共$3100$元
    例假日	加發一倍工資，未滿$8$小時以一天計算，且須再補休一天	一天原新$1200$元和加班費$1200$元，共$2400$元，再補休一天
    國定假日	加發一倍工資，未滿$8$小時以一天計算	一天原薪$1200$元和加班費$1200$元，共$2400$元

    (1)  若某資深勞工月薪$43200$元，在某個月的工作日中，有八天加班兩小時，四天加班四小時，請問他當月共可領加班費$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$元。(4%)
    (2)  若某新進勞工月薪$28800$元，他在某個月的休息日中因為公司趕工的關係，有兩天被要求加班四小時，請問公司在當月應該給付他$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$加班費。(4%)
    (3)  若某勞工月薪$32400$元，因為公司在某月發生不可抗力的因素，他必須在工作日加班六天，每天兩小時，一天休息日工作四小時和一天例假日工作四小時，請問他當月共可領加班費$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$元。(4%)