63年大學聯考數學科試題(自)

說明：	第1題至第18題，每題有5個選項，每題可能有不止一個正確的敘述，但至少有一正確答案；必須完全選對(不能多、不能少)才得分數；不作答者，該題得0分；作答卻答錯者，倒扣該題的$\frac{1}{30}$。1到8題中每題5分；9到18題中每題6分。

1. 下面哪一曲線與直線$x+y=0$恰有二交點?
   (A)  $y={{2}^{x}}$
   (B)  $y=lo{{g}_{10}}x$
   (C)  $xy=1$
   (D)  ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$
   (E)  $x+{{y}^{2}}=0$
   
   
2. 設點$P(a$，$b)$的坐標$a=cos22.5{}^\circ$，$b=sin22.5{}^\circ$，則
   (A)  $P$在雙曲線$4xy=\sqrt{2}$上
   (B)  $P$在雙曲線$2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=\sqrt{2}$上
   (C)  $P$是圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$與雙曲線$4xy=\sqrt{2}$的一個交點
   (D)  $(cos22.5{}^\circ$，$-sin22.5{}^\circ )$也是圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$與雙曲線$4xy=\sqrt{2}$的一個交點
   (E)  圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$與雙曲線$4xy=\sqrt{2}$共有四個交點
   
   
3. 給予複數$\alpha =\sqrt{3}+i$，並以$\bar{\alpha }$表示$\alpha$的共軛複數，則
   (A)  $\alpha =2(cos30{}^\circ +isin30{}^\circ )$
   (B)  ${{\alpha }^{3}}=8i$
   (C)  ${{\alpha }^{3}}-{{\bar{\alpha }}^{3}}=0$
   (D)  ${{(\alpha )}^{-3}}={{\bar{\alpha }}^{3}}$
   (E)  ${{\alpha }^{6}}+{{\bar{\alpha }}^{6}}=-128$
   
   
4. 設直線$x-y-1+\sqrt{2}=0$與圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3$的二交點為$P$，$Q$，則
   (A)  線段$\overline{PQ}$的長為$2\sqrt{3}$
   (B)  線段$\overline{PQ}$的長為$2+\sqrt{2}$
   (C)  $P$，$Q$兩點關於原點對稱
   (D)  $P$，$Q$兩點關於直線$x+y=0$對稱
   (E)  線段$\overline{PQ}$的中點坐標為$(\displaystyle{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}$，$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$
   
   
5. 在平面上給予兩點$P(4$，$3)$，$Q(3$，$4)$，作向量$\overset{\rightharpoonup}{a}=\overset{\rightharpoonup}{OP}$，$\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{OQ}$ ($O$表示原點)
   ，則
   (A)  內積$\overset{\rightharpoonup}{a}$$\cdot$$\overset{\rightharpoonup}{b}$$=24$
   (B)  $P$點到直線$\overleftrightarrow{OQ}$的距離為$\displaystyle{\frac{7}{5}}$
   (C)  向量$\overset{\rightharpoonup}{a}$$+$$\overset{\rightharpoonup}{b}$的長度為$10$
   (D)  向量$\overset{\rightharpoonup}{a}$$-$$\overset{\rightharpoonup}{b}$的長度為$2$
   (E)  三角形$OPQ$的面積為$\displaystyle{\frac{7}{2}}$
   
   
6. 設$f(x)=\displaystyle{\frac{({{x}^{15}}+1)(x+1)}{({{x}^{5}}+1)({{x}^{3}}+1)}}$，則
   (A)  $f(x)$不是多項式
   (B)  $f(x)=\displaystyle{\frac{{{x}^{10}}-{{x}^{5}}+1}{{{x}^{2}}-x+1}}$
   (C)  $f(x)=\displaystyle{\frac{{{x}^{12}}-{{x}^{6}}+1}{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1}}$
   (D)  $f(x)={{x}^{8}}+{{x}^{7}}-{{x}^{5}}-{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+x+1$
   (E)  $f(x)={{x}^{8}}+{{x}^{7}}+{{x}^{6}}-{{x}^{5}}-{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1$
   
   
7. 設$m$，$n$為任意正整數，且$m>n$。令$x={{m}^{2}}-{{n}^{2}}$，$y=2mn$，$z={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$，
   譬如說$m=2$，$n=1$，則$x=3$，$y=4$，$z=5$，而下列各敘述成立。
   今問其中那些敘述在一般情形恆成立?
   (A)  $x<y$
   (B)  $x+y>z$
   (C)  $x$，$y$中必有一數為$4$之倍數
   (D)  $x$，$y$中必有一數為$3$之倍數
   (E)  $x$，$y$，$z$中必有一數為$5$之倍數
   
   
8. 設$a$，$b$為任意實數，但$0<a<1$，$0<b<1$，則
   (A)  $a(1-a)\le \displaystyle{\frac{1}{4}}$
   (B)  ${{a}^{2}}+{{b}^{\text{2}}}\le 2ab$
   (C)  $\left| a-b \right|<1-ab$
   (D)  $1+ab>a+b$
   (E)  $4(1-a)(1-b)>{{(2-a-b)}^{2}}$
   
   
9. 設$N$個人中至少有兩人在同一個月份出生(不考慮年齡)的機率
   (或稱概率、或然率)為$P(N)$，則
   (A)  $P(13)\ge 1$
   (B)  $P(5)\ge 0.6$
   (C)  $P(4)\ge 0.5$
   (D)  $P(3)\ge 0.3$
   
   
10. 二次曲線$5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-6xy-4=0$
    (A)  是一雙曲線
    (B)  是一橢圓
    (C)  二對稱軸為$x-y=0$及$x+y=0$
    (D)  二焦點為$(\displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}}$，$\displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}})$及$(-\displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}}$，$-\displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}})$
    (E)  二焦點的距離為$\sqrt{6}$
    
    
11. 三直線$x-y-9=0$，$x+2y=0$及$3x-y-7=0$圍成一三角形，設此三角形
    外接圓的方程式為${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+ax+by+c=0$，則
    (A)  此三角形的三個頂點都在第四象限
    (B)  $a+b=8$
    (C)  $2a-b=20$
    (D)  外接圓圓心的坐標為$(2$，$-6)$
    (E)  ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c=100$
    
    
12. 考慮一個$n$次多項式${{f}_{n}}(x)$($n\ge 1$)，我們已知${{f}_{n}}$在$x=0$，$1$，$2$，……，$(n-2)$
    及$(n-1)$時的函數值${{f}_{n}}(x)$均為$0$，而${{f}_{n}}(n)=1$，則
    (A)  ${{f}_{2}}(n)=\displaystyle{\frac{{{x}^{2}}-x}{2}}$
    (B)  ${{f}_{3}}(x)=\displaystyle{\frac{({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x)}{6}}$
    (C)  但是對一般$n$，${{f}_{n}}(x)$為法唯一確定
    (D)  ${{f}^{5}}(8)=56$
    (E)  ${{f}_{1}}(n)+{{f}_{2}}(n)+\cdots \cdots +{{f}_{n}}(n)={{2}^{n}}-1$
    
    
13. 考慮如右的街道圖，其中$A$，$B$，$C$，$D$為四個站。警員在巡邏時
    ，必須走過所有的街道，但是不重複走過同一條街，因此
    派出所只能設在$A$站或$D$站。從$A$站出發要完成一次巡邏，
    可以有$N$個不同的巡邏路線(試求出$N$)，則
    
    (A)  $N$可被$25$整除
    (B)  $N$可被$45$整除
    (C)  $N$可被$48$整除
    (D)  $N$可被$160$整除
    (E)  $N>700$
    
    
14. 定義兩個數列如下：
    (1)  ${{a}_{0}}=2$，${{a}_{1}}=3$，${{a}_{2}}=\displaystyle{\frac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}}{2}}$，……，${{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{{{a}_{n-2}}+{{a}_{n-1}}}{2}}$，……
    (2)  ${{b}_{0}}=2$，${{b}_{1}}=3$，${{b}_{2}}=\displaystyle{\frac{2{{b}_{0}}+{{b}_{1}}}{2}，……，{{b}_{n}}}=\displaystyle{\frac{2{{b}_{n-2}}+{{b}_{n-1}}}{2}}$，……，則
    (A)  可以找到一個數$M$，使得一切${{a}_{n}}\le M$，${{b}_{n}}\le M$
    (B)  $2{{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}=8$，$n=1$，$2$，……
    (C)  $\underset{n\to \infty }{\mathop{lim}}\,{{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{8}{3}}$
    (D)  $\{{{b}_{n}}\}$為增數列
    (E)  $\underset{n\to \infty }{\mathop{lim}}\,{{b}_{n}}=0$
    
    
15. 考慮三角形$ABC$，三邊長記為$a$，$b$，$c$($a=\overline{BC}$等)，三高記為${{h}_{a}}$，${{h}_{b}}$，${{h}_{c}}$，
    三個內角記為$A$，$B$，$C$。則下列各個敘述所給的數據何者可以定出一個
    (且只一個)這樣的三角形(換句話說，解這三角形時，解答存在而且唯一)
    (A)  $a+b+c=20$，$A=60{}^\circ$，$B=75{}^\circ$(B)  $a=20$，${{h}_{a}}=13$，$B-C=40{}^\circ$(C)  ${{h}_{a}}=2$，${{h}_{b}}=4$，${{h}_{c}}=5$
    (D)  $A=60{}^\circ$，$a=10$，$b=14$
    (E)  $A=60{}^\circ$，$B=40{}^\circ$，$C=80{}^\circ$
    
    
16. 在敵我對峙的情況下(如圖)
    
    已知$\angle ABC=90{}^\circ$，$\angle ABD=80{}^\circ$，
    $\angle BAC=40{}^\circ$，$\angle BAD=50{}^\circ$，$\overline{AB}=40$(公里)，試利用題
    後的對數表，計算$\overline{CD}$之長$\ell$到有效數字兩位。
    (令$a$為前一位數字，$b$為後一位數字)則
    
    
    (A)  $10<\ell <100$
    (B)  $a\in \{1$，$2$，$3$，$4$，$5\}$
    (C)  $a\in \{2$，$4$，$6$，$8\}$
    (D)  $a\in \{3$，$6$，$9\}$
    (E)  $b\le 5$
    
    
17. 很小很小的圓心角所對的圓弧長和弦長之比幾乎就是$1$，試根據這個道理計算
    出$sin1{0}''$及$1-cos1{0}''$($1$度$=60$分，$1$分$=60$秒，秒即")。
    設$sin1{0}''=a\cdot {{10}^{-m}}$及$1-cos1{0}''=b\cdot {{10}^{-n}}$，此地$1\le a<10$，$1\le b\le 10$，而$m$及$n$均
    正整數。我們再分別把$a$及$b$四捨五入得整數${a}'$及${b}'$，當然$1\le {a}'\le 10$，$1\le {b}'\le 10$
    ，所以下列近似式$sin1{0}''\approx {a}'\cdot {{10}^{-m}}$，$1-cos1{0}''\approx {b}'\cdot {{10}^{-n}}$精確到有效數字一位，
    判定下列敘述何者為真?
    (A)  $m\le 4$
    (B)  $m$是偶數
    (C)  ${a}'$是偶數(D)  ${a}'\le 5$
    (E)  ${a}'\in \{2$，$5$，$8\}$
    
    
18. 承上題，判定下列敘述何者為真?
    (A)  $n\le 8$
    (B)  n是奇數
    (C)  ${b}'$是奇數
    (D)  ${b}'\le 5$
    (E)  ${b}'\in \{3$，$5\}$