107學年度指定科目考試數學(乙)非選擇題詳解

1. (1)  因$f\left( 3 \right)=f\left( -7 \right)$ $\Rightarrow $對稱軸為$x=\displaystyle{\frac{3+\left( -7 \right)}{2}}$，即$x=-2$
   
   (2)  因交於兩點，若開口向上(即$a>0$)，則頂點$\left( k，b \right)$中$b<0$；若開口向下(即$a<0$)，則頂點$\left( k，b \right)$中$b>0$。因此$a$、$b$異號
   
   (3)  因對稱軸為$x=-2$，$f\left( x \right)=a{{\left( x-k \right)}^{2}}+b$即$f\left( x \right)=a{{\left( x+2 \right)}^{2}}+b=a{{x}^{2}}+4ax+4a+b$，則兩根積$=\displaystyle{\frac{4a+b}{a}}$ $=4+\displaystyle{\frac{b}{a}}$，因$ab<0$ $\Rightarrow $ $\displaystyle{\frac{b}{a}}<0$ $\Rightarrow $ $4+\displaystyle{\frac{b}{a}}<4$
   
   
2. (1)  令甲廠進口$x$輛、乙廠進口$y$輛，可得限制條件$\left\{ \begin{aligned}
   & 0\le x\le 20 \\
   & 0\le y\le 30 \\
   & 100x+120y\le 4400 \\
   \end{aligned} \right.$，單位(萬元)，目標函數：$11x+12y$，單位(萬元)
   
   (2)  解交點得$\left( 0，30 \right)$、$\left( 8，30 \right)$、$\left( 20，20 \right)$、$\left( 20，0 \right)$、$\left( 0，0 \right)$
   
   
   (3)  使用頂點法：
   
   故甲廠進口$20$輛、乙廠進口$20$輛可得對大值$460$(萬)。