106學年度指定科目考試數學(乙)非選擇題詳解

1. (1)  令狀態一為領取甲券、狀態二為領取乙券。
   $\Rightarrow$ $P($甲$\to$甲$)=0.85$、$P($甲$\to$乙$)=0.15$、$P($乙$\to$甲$)=0.35$、$P($乙$\to$乙$)=0.65$。
   $\Rightarrow$轉移矩陣$=\left[ \begin{matrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \\ \end{matrix} \right]$
   
   (2)  $\left[ \begin{matrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ 1-x \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} x \\ 1-x \\ \end{matrix} \right]$ $\Rightarrow$ $0.85x+0.35-0.35x=x$ $\Rightarrow$ $x=0.7$ $\Rightarrow$領取甲券比例$70\%$、領取乙券比例$30\%$時，會呈穩定狀態。
   
   
2. (1)  令全部有$n$球 $\Rightarrow$ $\displaystyle{\frac{4}{n}}\times 50+\displaystyle{\frac{9}{n}}\times 20+\displaystyle{\frac{n-13}{n}}\times 10=20$ $\Rightarrow$ $n=25$
   
   (2)  $Y\le 50$元 $\Rightarrow$ $10$元$+$ $10$元、$10$元$+$ $20$元、$20$元$+$ $20$元
   $\Rightarrow$ $P(Y\le 50)= \displaystyle{\frac{C_{2}^{9}+C_{2}^{12}+C_{1}^{9}C_{1}^{12}}{C_{2}^{25}}}=\displaystyle{\frac{36+66+108}{300}}=0.7$