109上第3次段考-台北-建國中學-高二(題目)

範圍：第三冊

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壹、多選題(共3題，每題9分)
每題至少有一個選項是正確的，全對得9分，只答錯一個選項得6分，只答錯二個選項得3分，不作答或答錯三個以上(含三個)選項得0分。

1. 設$\overset{\rightharpoonup}{a}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$為平面上兩個非零向量，且a+b和a-b也都不是零向量，試問下列哪些選項是試正確的?
   (1)  $\overset{\rightharpoonup}{a}$‧$\overset{\rightharpoonup}{b}$+|$\overset{\rightharpoonup}{a}$||$\overset{\rightharpoonup}{b}$|$\ge $0
   (2)  $\overset{\rightharpoonup}{a}$‧$\overset{\rightharpoonup}{b}$$=\displaystyle{\frac{1}{2}}$(|$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{b}$|$^{2}$-|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|$^{2}$-|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|$^{2}$)
   (3)  |$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{b}$|=|$\overset{\rightharpoonup}{a}$-$\overset{\rightharpoonup}{b}$|，則a和b是兩個互相垂直的向量
   (4)  若a和b是兩平行的向量，則|$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{b}$|=|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|+|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|
   (5)  若$\overset{\rightharpoonup}{a}$在$\overset{\rightharpoonup}{b}$上的正射影的長度等於$\overset{\rightharpoonup}{b}$在$\overset{\rightharpoonup}{a}$上的正射影長度，則|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|=|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|
   
   
2. 設$\overset{\rightharpoonup}{a}$，$\overset{\rightharpoonup}{b}$，$\overset{\rightharpoonup}{c}$為平面上三個非零向量，試問下列哪些選項是正確的?
   (1)  若$\overset{\rightharpoonup}{a}$‧$\overset{\rightharpoonup}{b}$=$\overset{\rightharpoonup}{a}$‧$\overset{\rightharpoonup}{c}$=0，則b和c是兩平行向量
   (2)  若$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{b}$+$\overset{\rightharpoonup}{c}$=$\overset{\rightharpoonup}{0}$，則$\overset{\rightharpoonup}{b}$和$\overset{\rightharpoonup}{c}$是兩平行向量
   (3)  若$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{c}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$+$\overset{\rightharpoonup}{c}$是兩平行向量，其中$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{c}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$+$\overset{\rightharpoonup}{c}$皆非零向量，則$\overset{\rightharpoonup}{a}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$是兩平行向量
   (4)  若|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|<1<|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|，則|$\overset{\rightharpoonup}{a}$‧$\overset{\rightharpoonup}{b}$|<|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|+|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|-1
   (5)  設$\overset{\rightharpoonup}{a}$在$\overset{\rightharpoonup}{b}$上的正射影為$\overset{\rightharpoonup}{c}$，$\overset{\rightharpoonup}{b}$在$\overset{\rightharpoonup}{a}$上的正射影為$\overset{\rightharpoonup}{d}$，其中$\overset{\rightharpoonup}{c}$和$\overset{\rightharpoonup}{d}$皆非零向量，則|$\overset{\rightharpoonup}{c}$|：|$\overset{\rightharpoonup}{d}$|=|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|：|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|
   
   
3. 試問下列哪些選項是正確的?
   (1)  行列式$\left| \begin{matrix}
   109 & 2021 \\
   110 & 2020 \\
   \end{matrix} \right|$的值為-2130
   (2)  若$\left| \begin{matrix}
   a & b \\
   c & d \\
   \end{matrix} \right|=4$，則$\left| \begin{matrix}
   {{a}^{2}} & {{b}^{2}} \\
   {{c}^{2}} & {{d}^{2}} \\
   \end{matrix} \right|=16$
   (3)  若$\left| \begin{matrix}
   a & b \\
   c & d \\
   \end{matrix} \right|=4$，則$\left| \begin{matrix}
   2a & 2c \\
   3b & 3d \\
   \end{matrix} \right|=24$
   (4)  若$\left| \begin{matrix}
   a & b \\
   c & d \\
   \end{matrix} \right|=4$，則坐標平面上以O(0，0)，X(a，b)，Y(c，d)這三點為頂點所形成的$\vartriangle OXY$面積為2
   (5)  若坐標平面上以O(0，0)，X(a，b)，Y(c，d)這三點為頂點所形成的$\vartriangle OXY$面積為2，則$\left| \begin{matrix}
   a & b \\
   c & d \\
   \end{matrix} \right|=4$
   
   

貳、填充題(共10格，每格6分)

1. 設點A(1，6)和點B(2，4)是坐標平面上的兩個點，而點P是坐標平面上一點，已知A點、B點、P點這三點共線，但P點不在線段$\overline{AB}$上，且滿足$\overline{AP}$：$\overline{BP}=3$：$4$，試求點P的坐標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 設坐標平面上有兩個向量$\overset{\rightharpoonup}{a}$=(2，4)和$\overset{\rightharpoonup}{b}$=(-1，k)，其中k為實數，已知$\overset{\rightharpoonup}{a}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$的夾角為$45{}^\circ $，試問k之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設坐標平面上有四個相異點O，A，B，C，已知A，B，C三點共線，但O，A，B，C四點並不共線，且滿足(2t-3)$\overset{\rightharpoonup}{OA}$-4$\overset{\rightharpoonup}{OB}$=(5t-6)$\overset{\rightharpoonup}{OC}$，其中t為實數，試問實數t的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 若$\left| \begin{matrix}
   a & b \\
   c & d \\
   \end{matrix} \right|=1$，則$\left| \begin{matrix}
   2a+3b & 4a-5b \\
   2c+3d & 4c-5d \\
   \end{matrix} \right|$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 設$\overset{\rightharpoonup}{a}$=(11，23)，$\overset{\rightharpoonup}{b}$=(3，4)，已知$\overset{\rightharpoonup}{a}$=$\overset{\rightharpoonup}{x}$+$\overset{\rightharpoonup}{y}$，其中$\overset{\rightharpoonup}{x}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$平行，$\overset{\rightharpoonup}{y}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$垂直，試求向量$\overset{\rightharpoonup}{x}$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 設x，y為實數，滿足$9{{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=9$，試問5x+4y的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 設$\overset{\rightharpoonup}{a}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$是坐標平面上的兩個向量，滿足|$\overset{\rightharpoonup}{a}$|=1，|$\overset{\rightharpoonup}{b}$|=$2\sqrt{3}$，且$\overset{\rightharpoonup}{a}$和$\overset{\rightharpoonup}{b}$的夾角為$150{}^\circ $，已知實數t滿足$-4\le t\le 5$，若|t$\overset{\rightharpoonup}{a}$+$\overset{\rightharpoonup}{b}$|的最大值為M，最小值為m，則數對(M，m)為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 設坐標平面上有三個點O(0，0)，A(3，-5)，已知$\Omega $為滿足$\overset{\rightharpoonup}{OP}$=x$\overset{\rightharpoonup}{OA}$+y$\overset{\rightharpoonup}{OB}$的所有點P所形成的區域，其中$-1\le x\le 3$，$1\le y\le 6$，試問$\Omega $的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 某人模仿交通號誌「分道」的圖形(如下圖，圖片來源：交通安全入口網)，在坐標平面上得到類似的圖形(如右圖，只是示意圖，並非精準圖形)，其中$\vartriangle ABC$為正三角形，$\overset{\rightharpoonup}{DE}$和$\overset{\rightharpoonup}{FG}$是對稱於線段$\overline{BC}$中垂線的兩向量，已知A(0，-3)，B(0，9)，$C(6\sqrt{3}$，$3)$，$D(\sqrt{3}$，$2)$，$E(\sqrt{3}$，$6)$，試求$\overset{\rightharpoonup}{FG}$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
   
   
   
   
10. 設某城市的市中心之坐標為(0，0)，現在有五位事業有成的社會人士準備找地點蓋公園讓城市綠化，已知他們五個人的住家之坐標分別A(2，0)，B(1，3)，C(-2，2)，D(-2，-2)，E(1，-3)，經過討論後他們決定依照下列兩個步驟來決定公園的預定地，第一、先從A，B，C，D，E這五個點中任意選出三個相異點，然後求出這三個點所形成的三角形之重心；第二、考慮第一步驟中所得到的重心和剩下兩個點所形成的三角形，然後求出這個三角形的重心，我們就將最後得到的這個重心當作公園的預定地。因為從五個點選出三個相異點的方法共有10種，所以可以得到10個公園的預定地，試問這10個公園的預定地離市中心的距離之最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    ※說明：設從A，B，C，D，E這五個點中選出B，C，E這三個點，而$\vartriangle BCE$的重心稱為P，接下來就要考慮$\vartriangle PAD$，設$\vartriangle PAD$的重心為Q，那點Q就是公園的預定地。
    
    

参、計算證明題(共1題，共13分)

1. 如圖(只是示意圖，並非精準圖形)，坐標平面上有梯形ABCD，其中$\overline{BC}$和$\overline{AD}$平行，$\overline{AB}=3$、$\overline{BC}=5$，$\overline{CD}=4$，$\overline{DA}=10$，而$\overline{BC}$上有一點P，$\overline{CD}$上有一點Q，已知三角形ABP的面積：四邊形APCQ的面積：三角形AQD的面積=1：3：5，試回答下列各小題：
   
   
   
   設$\overset{\rightharpoonup}{AP}$=s$\overset{\rightharpoonup}{AB}$+t$\overset{\rightharpoonup}{AC}$，其中s，t為實數，試求數對(s，t)。(5分)
   
   
2. 設$\overset{\rightharpoonup}{AC}$=x$\overset{\rightharpoonup}{AP}$+y$\overset{\rightharpoonup}{AQ}$，其中x，y為實數，試求數對(x，y)。(8分)