[段考] 108上第2次段考-新竹-新竹女中-高一(題目)

108上第2次段考-新竹-新竹女中-高一(題目)

範圍：龍騰單元5~單元8

　 答案　 詳解

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參考數據：$log2\approx 0.3010$，$log3\approx 0.4771$，$log4\approx 0.6020$，$log5\approx 0.6990$，$log6\approx 0.7782$，$log7\approx 0.8451$，$log8\approx 0.9031$，$log9\approx 0.9542$

一、單選題：每題4分，共32分

1. 通過$(2$，$4)$且斜率為$\displaystyle{\frac{1}{2}}$的直線為何?
   (1)  $y-4=\displaystyle{\frac{1}{2}}(x-2)$
   (2)  $y=\displaystyle{\frac{x}{2}}+4$
   (3)  $y=2x$
   (4)  $x+2y-10=0$
   (5)  $\displaystyle{\frac{x}{2}}+\displaystyle{\frac{y}{4}}=1$
   
   
2. 將直線$2x+3y-6=0$向右平移$n$個單位後，所得的直線為$2x+3y-9=0$，則$n=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (1)  $3$
   (2)  $ \displaystyle{\frac{3}{2}}$
   (3)  $1$
   (4)  $0$
   (5)  $-1$
   
   
3. 二元一次聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
   x+2y\le 6 \\
   2x+y\ge 6 \\
   x\ge 0 \\
   y\ge 0 \\
   \end{array} \right.$的解區域圖形的面積為何?
   (1)  $9$
   (2)  $6$
   (3)  $\displaystyle{\frac{9}{2}}$
   (4)  $3$
   (5)  $0$
   
   
4. 已知圓$C$：$4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-4x-8y-7=0$，則圓$C$的面積為何?
   (1)  $\pi $
   (2)  $2\pi $
   (3)  $3\pi $
   (4)  $7\pi $
   (5)  $9\pi $
   
   
5. 已知圓$C$：${{(x-4)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=49$，則原點到圓$C$的距離最小為何?
   (1)  $0$
   (2)  $1$
   (3)  $2$
   (4)  $5$
   (5)  $7$
   
   
6. 已知圓$C$：${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=k$與直線$3x+4y+3=0$相切，則實數$k$的值為何?
   (1)  $4$
   (2)  $2$
   (3)  $\displaystyle{\frac{9}{5}}$
   (4)  $0$
   (5)  $-\displaystyle{\frac{9}{5}}$
   
   
7. 請問${{7}^{100}}$是幾位數?
   (1)  $83$位
   (2)  $84$位
   (3)  $85$位
   (4)  $86$位
   (5)  $87$位
   
   
8. 已知$loga=0.1$且$logb=0.4$，則下列個數何者最大?
   (1)  ${{a}^{10}}$
   (2)  ${{b}^{0}}$
   (3)  ${{(ab)}^{2}}$
   (4)  $10ab$
   (5)  ${{b}^{5}}$
   
   

二、多重選擇題：每題8分，共24分

說明：每錯一個選項者扣2分，扣完該題題分為止，未作答者不給分。

9. 在坐標平面上，下列各選項的條件那些恰可決定一個圓?
   (1)  通過三點$(0$，$1)$、$(1$，$0)$、$(\sqrt{3}$，$\sqrt{2})$
   (2)  通過四點$(0$，$1)$、$(1$，$0)$、$(0$，$0)$、$(1$，$1)$
   (3)  與直線$x+y=2$、$x=0$、$y=0$都相切
   (4)  滿足$\overline{PA}=\overline{PB}$的$P$點軌跡，其中$A$點為$(0$，$0)$、$B$點為$(3$，$0)$
   (5)  滿足$\overline{PA}=\sqrt{2}\overline{PB}$的$P$點軌跡，其中$A$點為$(0$，$0)$，$B$點為$(3$，$0)$
   
   
10. 已知圓$\Gamma $：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-ax-by+18=0$與直線$x-3y=c$相切於$(5$，$1)$，則下列哪些選項是正確的?
    (1)  $c=2$
    (2)  $a=3$
    (3)  $b=14$
    (4)  圓$\Gamma $的半徑為$40$
    (5)  圓$\Gamma $的圓心為$(3$，$7)$
    
    
11. 聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
    x+ay\le b \\
    cx+dy\le e \\
    \end{array} \right.$的解區域為右圖的鋪色部分，則下列哪些選項是正確的?
    (1)  $a>0$
    (2)  $b>0$
    (3)  $c>0$
    (4)  $d>0$
    (5)  $e>0$
    
    

三、填充題：每題6分，共30分

12. 設圓$C$為${{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=16$，已知圓$C$與直線$y=x$相交於相異兩點，則交點坐標為_______。(有兩解)
    
    
13. 已知圓$C$與$x$軸、$y$軸均相切，且此圓通過點$(4,2)$，則圓$C$的圓心為_______。(有兩解)
    
    
14. 除了太陽外，離地球最近的恆星是比鄰星$(Proxima$$Centauri)$，它距離地球只有$4.22$光年 註)。已故的物理學家史蒂芬$\cdot $霍金曾經提出突破攝星$(Breakthrough$$Starshot)$計畫，欲研發速度奇快的$StarChip$飛行器前往比鄰星。若該飛行器能以每秒$6.00\times {{10}^{7}}$公尺的速度飛往比鄰星，則大約需要_______年可抵達。(請取$2$位有效數字)
    註：(1)  光年：光進行一年的距離；
    (2)  光的速度：每秒$3.00\times {{10}^{8}}$公尺。
    
    
15. 在坐標平面上$A(0,6)$處有一點光源，將圓$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+5=0$投射在$x$軸上，則此圓在$x$軸上的陰影長度為_______。
    
    
16. 在坐標平面上，點$A(4,2)$，直線$L:x-5y-7=0$，圓$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x=0$。請在直線$L$上找一點$P$，在圓$C$上找一點$Q$，使得$\overline{AP}+\overline{PQ}$為最小，求$\overline{AP}+\overline{PQ}$的最小值為_______。
    
    

四、計算與證明題：共14分

說明：答案必須寫在「答案卷」上，並標明子題號((1)、(2)、……)，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至只得零分。

17. 在坐標平面上，$\vartriangle ABC$的三邊所在直線分別為$y=0$、$x-y=0$與$4x+y-40=0$，頂點$A(0,0)$、$B(10,0)$、$c(8,8)$。
    (1)  請將$\vartriangle ABC$繪製在坐標平面上，並標示頂點坐標。(2分)
    (2)  請分別求出$\overline{AB}$邊上的高所在的直線${{L}_{1}}$的方程式、$\overline{AC}$邊上的高所在的直線${{L}_{2}}$的方程式及$\overline{BC}$邊上的高所在的直線${{L}_{3}}$的方程式。(3分)
    (3)  承(2)小題，請求出直線${{L}_{1}}$、${{L}_{2}}$的交點$H$，並驗證${{L}_{1}}$、${{L}_{2}}$、${{L}_{3}}$相交於同一個點$H$。(此點稱為$\vartriangle ABC$的重心)(2分)
    (4)  請求出$\vartriangle ABC$外接圓的圓心$O$坐標。(此點稱為$\vartriangle ABC$的外心)(4分)
    (5)  已知$\vartriangle ABC$的重心$G$坐標為$(6,\displaystyle{\frac{8}{3}})$。請驗證$\vartriangle ABC$的垂心$H$、外心$O$與重心$G$三點是在同一條直線上？並說明理由。(3分)